Determinación de la probabilidad a partir de una función de transición de Markov específica

Question

Estoy tratando de resolver lo siguiente:

Consideremos una cadena de Markov cuyo espacio de estados es $\mathbb{R}$ . Dejemos que $P(x,A), x \mathbb{R},A \mathcal{B}(\mathbb{R})$ sea la siguiente función de transición de Markov, $P(x,A) = \lambda([x 1/2,x + 1/2] \cap A)$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue.

Suponiendo que la distribución inicial está concentrada en el origen, hallar $P(|\omega_{2}| 1/4).$

No tengo ni idea de cómo enfocar este problema.

Answer 1

La ley de la probabilidad total y la propiedad de Markov implican que \begin{equation} P(\omega_2 \in A \mid \omega_0 = 0) = \int P(\omega_2 \in A \mid \omega_1 = x) f_1(x) \; dx, \end{equation} donde $f_1$ es la función de densidad de probabilidad condicional de $\omega_1$ dado $\omega_0 = 0$ (supongamos por ahora que dicha densidad existe y tratemos de encontrarla más adelante). Para explicar mi comentario anterior, defina la función $F(x) = P(\omega_2 \in A \mid \omega_1 = x)$ . Entonces, por la definición de la expectativa de una función de una variable aleatoria con una densidad, el lado derecho de la ecuación anterior es simplemente $E[F(\omega_1)]$ .

Ahora para evaluar la integral (que hemos visto que es una expectativa), necesitamos encontrar la densidad $f_1$ y la función $F$ definida anteriormente. Pero la función $F$ es sólo la función de transición $P(x, A)$ que te han dado.

Para encontrar la densidad condicional, siga el procedimiento "habitual": En primer lugar, encuentre la función de distribución acumulativa condicional $F_1(x) = P(\omega_1 \le x \mid \omega_0 = 0)$ . Entonces la densidad condicional es la derivada: $f_1(x) = F'_1(x)$ .