Series geométricas finitas de matrices

Question

Supongamos que $A$ es un $m \times m$ matriz. ¿Bajo qué condición(es) se cumple la siguiente serie geométrica finita? Obsérvese que $I$ es un $m \times m$ matriz de identidad.

$$\sum_{i=0}^n A(I - A)^i = I - (I - A)^{n+1}$$

Me refiero a https://mast.queensu.ca/~math211/m211oh/m211oh96.pdf y parece que lo anterior se mantendría si $(I - A)$ es invertible, es decir $|\lambda_i| < 1$ para cada valor propio de $A$ ? ¿Implica eso que $A$ ¿también tiene que ser invertible?

Answer 1

Dejemos que $S_n=\sum\limits_{k=0}^n Q^k$ donde $Q=(I-A)$ . Entonces $$QS_n=\sum\limits_{k=1}^{n+1} Q^k=-I+S_n+Q^{n+1}$$ Traiga $S_n$ a la parte izquierda: $$(Q-I)S_n=-I+Q^{n+1}$$ recordando ahora $Q=I-A$ y multiplicando por $(-1)$ obtenemos el resultado deseado.

P.D. No se han hecho suposiciones.