cómo resolver $2169-2^n-n^2=0$

Question

Necesito resolver esta ecuación: $2169-2^n-n^2=0$

Así que he intentado adivinar una solución para quizás comprobar por derivación que es la única.

No lo he conseguido.

Gracias.

Answer 1

Si dibujas las gráficas de la curva exponencial $y=2^x$ y la parábola que apunta hacia abajo $y=2169-x^2$ (o simplemente mira la respuesta de mvw, que fue publicada simultáneamente con esta), verás que tienen exactamente dos puntos de intersección, uno con $x\gt0$ y uno con $x\lt0$ . Por suerte, el cruce positivo se produce en $x=11$ precisamente. Dado el hecho de que la curva exponencial tiende rápidamente a $0$ para grandes valores negativos de $x$ es evidente que el cruce negativo se produce en torno a $x=-\sqrt{2169}\approx-46.57$ .

Answer 2

La ecuación $$2169 - n^2 = 2^n$$ puede verse como la intersección de los gráficos de $f(x) = 2169 - x^2$ (parábola verde) y $g(x) = 2^x$ (función exponencial roja).

Se puede utilizar para una solución gráfica, pero para valores precisos parece necesario algún método numérico.

Answer 3

$n=11$ porque $$121-n^2=2^{11}(2^{n-11}-1)$$ $$(11-n)(11+n)=2^{11}(2^{n-11}-1)$$ si $n> 11$ entonces $(11-n)(11+n)<0$ y $\,2^{11}(2^{n-11}-1)>0$ .

si $-11<n< 11$ entonces $(11-n)(11+n)>0$ y $\,2^{11}(2^{n-11}-1)<0$ .

si $n\le-47$ entonces $2169-n^2<0$ y $\,2^n>0$

si $-46\le n\le-11$ entonces $2169-n^2>2^n$

$-\sqrt{2169}$ es la solución negativa de $f(n)=20169-n^2$ entonces $y_1=2^n$ y $y_2=2169-n^2$ cruzar juntos en $(-47,-46)$

Answer 4

Ecuaciones como $$2^x+x^2=2169$$ no puede, en general, resolverse exactamente por vías elementales. Buscando aproximaciones encontramos por casualidad $x=11$ como solución exacta y, por la gráfica de la función $f(x)=2^x +x^2$ sabemos que para todos $y\ge 1$ ( en realidad para $y\ge y_m$ donde $y_m$ es menos que $1$ y es el mínimo de la función $f$ ) hay dos puntos $x_1,x_2$ tal que $f(x_1)=f(x_2)=y$ .

El otro punto correspondiente a la solución exacta $x=11$ es tal que está entre $-46$ y $-47$ porque $f(-46)=2116 +\epsilon$ y $f(-47)=2209+\epsilon'$ donde $\epsilon$ y $\epsilon'$ son muy pequeños.( Este problema de determinar el valor exacto de este punto es el tipo de problema que tendríamos si no tenemos la solución exacta $x= 11$ ).

Answer 5

Considere la función $$f(x)=2^x+x^2-a$$ $$f'(x)=2 x+2^x \log (2)$$ $$f''(x)=2^x \log ^2(2)+2$$ Si no existe una solución analítica para las raíces de $f(x)=0$ existe una solución analítica para $f'(x)=0$ . Utilizando Función de Lambert la primera derivada se cancela para $$x_*=-\frac{W\left(\frac{\log ^2(2)}{2}\right)}{\log (2)}\approx -0.284538$$ Utilizando el resultado anterior $$f(x_*)\approx 0.901966 - a$$ y $f''(x)$ es siempre positivo. Por lo tanto, si $f(x)<0$ hay dos raíces para la ecuación $f(x)=0$ (uno positivo y otro negativo).

Si $a$ es grande, la raíz positiva viene dada aproximadamente por $2^x=a$ es decir $x=\frac{\log (a)}{\log (2)}$ y la raíz negativa viene dada aproximadamente por $x^2=a$ es decir $x=-\sqrt a$ .

Aplicado al caso en que $a=2169$ , esto da como aproximaciones $x_1\approx 11.0828$ y $x_2\approx -46.5725$ mientras que las soluciones exactas son $11$ y $\approx -46.5725$ .

Utilizando estas sencillas estimaciones, podrías iniciar el método Newton para pulir las raíces.