Problema matricial de la forma Ax=B

Question

La matriz $A$ viene dada por $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 8 & 11 & 8\\ 1 & 3 & 4 & \lambda\\ \lambda & 5 & 7 & 6\end{array} \right)$$

Dado que $\lambda$ = $2$ , $B$ = $\left(\begin{array}{ccc} 2 \\ 4 \\ \mu \\ 3 \end{array} \right)$ y $X$ = $\left(\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ t \end{array} \right)$

Encuentre el valor de $\mu$ para las que las ecuaciones definidas por $AX=B$ son consistentes y resuelven las ecuaciones en este caso. Indique el rango de A.

Así que empecé por reducir la matriz $A$ a la forma escalonada reducida (algo así como tomar el espacio nulo, excepto que estoy tratando con $Ax=B$ en lugar de $Ax=0$ ) pero como tengo 5 variables y sólo 4 ecuaciones, no estoy seguro de cómo seguir adelante.

Answer 1

Aquí hay una manera más fácil de resolver el problema, sin usar determinantes.

El sistema de ecuaciones lineales $Ax=b$ es solucionable exactamente cuando $b$ es un vector en el espacio de columnas de $A \equiv \text{col}(A) = \{ x \in \mathbb{R^4}: x=Ay, \text{ for some } y\in \mathbb{R^4} \}$ .

Mirando $b = \begin{bmatrix} 2 & 4 & \mu & 3 \end{bmatrix}^{T}$ y en la cuarta columna de $A$ , $A_{\bullet4} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 2 & 6 \end{bmatrix}^{T}$ observamos fácilmente que si $\mu = 1$ entonces $b = \frac{1}{2}A_{\bullet4} = 0 \cdot A_{\bullet1} + 0 \cdot A_{\bullet2} + 0 \cdot A_{\bullet3} + \frac{1}{2}A_{\bullet4}$ Por lo tanto $b$ es una combinación lineal de las columnas de $A$ Así que, en ese caso, $b \in \text{col}(A)$ y el sistema de ecuaciones $Ax=b$ es consistente.

Para encontrar el rango de $A$ , $\text{rk}(A)$ que es igual al número de pivotes en cualquier forma escalonada de $A$ Sólo tienes que reducir la fila de tu matriz $A$ llegando a

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 8 & 11 & 8 \\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 2 & 5 & 7 & 6 \end{bmatrix} \underbrace{\rightarrow}_{\text{row reducing}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Como sólo hay dos pivotes en la forma escalonada de $A$ , $\text{rk}(A) = 2$ .

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$ \det A=2\,(\lambda-2)^2 $$ así que $A$ es invertible si y sólo si $\lambda\neq 2$ . En este caso podemos utilizar La regla de Cramer para resolver $X$ . Por ejemplo, tenemos $$ x= \frac{ \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 8 & 11 & 8 \\ \mu & 3 & 4 & \lambda \\ 3 & 5 & 7 & 6 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 8 & 11 & 8\\ 1 & 3 & 4 & \lambda\\ \lambda & 5 & 7 & 6 \end{vmatrix} } = \frac{0}{2\,(\lambda-2)^2} = 0 $$ y resolviendo para $y$ , $z$ y $t$ es similar.

Ahora bien, si $\lambda=2$ , entonces la reducción de filas muestra que $$ \DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 8 & 11 & 8 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & \mu \\ 2 & 5 & 7 & 6 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 8 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ lo que implica que el sistema $AX=B$ es incoherente (¿ves por qué?).

Por último, lo anterior también demuestra que $$ \rref A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ ¿Qué dice esto sobre el rango de $A$ ?

Answer 3

Eliminación de Gauss-Jordan es uno de los métodos estándar para resolver sistemas lineales.

$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 8 &11 & 8 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & \mu \\ 2 & 5 & 7 & 6 & 3 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 7 & 6 & 3 \\ 3 & 8 &11 & 8 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & \mu \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 &-2 &-1 \\ 0 & 2 & 2 &-4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & \mu \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 8 & 4 \\ 0 & 1 & 1 &-2 &-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & \mu \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 8 & 4 \\ 0 & 1 & 1 &-2 &-1 \\ 0 & 3 & 3 &-6 & \mu-4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 8 & 4 \\ 0 & 1 & 1 &-2 &-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $

En este caso se debe discutir lo que ocurre en función del valor de $\mu$ . La tercera fila corresponde a la ecuación $0x+0y+0z+0t=\mu-1$ o, para decirlo de forma más sencilla $0=\mu-1$ . ¿Qué puede decir sobre las soluciones de este sistema si $\mu-1=0$ ? ¿Qué puede decir si $\mu-1\ne0$ ?

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