Aproximación de Erf al cuadrado

Question

He encontrado una bonita y útil aproximación de la función de error cuadrado $$ \mathrm{erf}^{2}\!\left(x\right)=1-\exp\!\left(-\frac{\pi^{2}}{8}x^{2}\right)+\varepsilon\!\left(x\right). $$

He comprobado numéricamente que el error máximo está limitado por $\left|\varepsilon\!\left(x\right)\right| < 61\cdot10^{-4}$ pero me preguntaron si esto podría ser demostrado de alguna manera analítica. O al menos si el orden del error podría determinarse de tal manera.

La función de error se define como $$ \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\exp\left(-t^{2}\right)\,\mathrm{d}t = 2\Phi\!\left(x\sqrt{2}\right)-1, $$ donde $\Phi\!\left(x\right)$ es la función de distribución acumulativa normal.

Y de forma más general: ¿el control numérico no es suficiente en estos casos?

Answer 1

Este tipo de desigualdades se pueden demostrar mediante el teorema de Fubini, ya que:

$$\operatorname{erf}(x)^2 = \frac{4}{\pi}\iint_{[0,x]^2}e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv=\frac{1}{\pi}\iint_{[-x,x]^2}e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv $$ y la última integral, sobre un cuadrado, puede ser efectivamente aproximada con una integral sobre un círculo adecuado, cuya forma explícita viene dada por: $$ 1-\exp\left({-\rho^2 x^2}\right). $$ Por ejemplo, es trivial que: $$\operatorname{erf}(x)^2 \geq \frac{1}{\pi}\iint_{u^2+v^2\leq x^2}e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv = 1-e^{-x^2}. $$ así como: $$\operatorname{erf}(x)^2 \leq \frac{1}{\pi}\iint_{u^2+v^2\leq 2x^2}e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv = 1-e^{-2x^2}. $$ Una aproximación ajustada se da considerando el círculo que tiene la misma área del cuadrado de integración original, $[-x,x]^2$ :

$$ \operatorname{erf}(x)^2 \approx 1-e^{-4x^2/\pi}.$$

Uno puede incluso tratar de encontrar "la mejor" constante $\rho$ tal que: $$\operatorname{erf}(x)^2 \approx 1-e^{-\rho^2 x^2}$$ mediante la resolución de un problema de minimización por mínimos cuadrados. Numéricamente, dicho valor óptimo está en torno a: $$ \rho = 1.1131 $$ que está muy cerca de $\rho=\frac{\pi}{\sqrt{8}}=1.11072\ldots$ dado por su aproximación.

Answer 2

Sólo para formar parte de esta interesante discusión, estoy totalmente de acuerdo en que $$F(a)=\int_0^{\infty}\left(\text{erf}(x)^2-(1-e^{-a x^2})\right)^2$$ es mínimo para $a\approx 1.23907$ (mismo valor que el dado por Jack D'Aurizio) pero, según $RIES$ Esta cifra parece estar mucho más cerca de $$a=(1+\pi )^{2/3} \log ^2(2)\approx 1.23907$$ que a $\frac{\pi^2}8\approx 1.23370$ aunque la diferencia sea muy grande (el error máximo se reduce de $0.006$ a $0.004$ y el valor de la integral $F(a)$ cambios de $0.00002769$ a $0.00002572$ ).

Si buscamos una aproximación aún mejor, podríamos considerar $\log\big(1-\text{erf}(x)^2\big)$ (lo cual, seguramente, introduce un sesgo en el problema) y establecer una aproximación de Pade y finalmente llegar a $$\mathrm{erf}\!\left(x\right)^2\approx1-\exp\Big(-\frac 4 {\pi}\,\frac{1+\alpha x^2}{1+\beta x^2}\,x^2 \Big)$$ donde $$\alpha=\frac{10-\pi ^2}{5 (\pi -3) \pi }$$ $$\beta=\frac{120-60 \pi +7 \pi ^2}{15 (\pi -3) \pi }$$ El valor de la función de error correspondiente es $1.1568\times 10^{-7}$ es decir, casi $250$ veces menor que con la formulación inicial; el error máximo es $0.00035$ .