Problema de demostración de la teoría de conjuntos y relaciones

Question

Problema : Si $R_1$ se define en $\mathbb{R}$ por la relación $R_1=\{(a,b):1+ab>0\ , a, b \in \mathbb{R}\}$ entonces demuestre que $(a,b) \in R_1$ y $(b,c) \in R_1 \implies (a,c) \in R_1$ no es cierto para todos los $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Mi intento :

$$(a,b) \in R_1 \implies 1+ab>0 \tag{1}$$

$$(b,c) \in R_1 \implies 1+bc>0 \tag{2}$$

$$(a,c) \in R_1 \implies 1+ac>0 \tag{3}$$

Pero (1) y (2) no implican (3). Por lo tanto, $(a,b) \in R_1$ y $(b,c) \in R_1 \implies (a,c) \in R_1$ no es cierto para todos los $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Mi problema : ¿Es correcto este procedimiento? También, ¿hay enfoques alternativos para probar el mismo resultado?

Answer 1

Que (1) y (2) no implican (3) es lo que estabas tratando de probar - no puedes asumirlo a mitad de tu prueba. Dicho de otro modo, sólo porque usted personalmente No ver una forma de deducir (3) de (1) y (2) no significa que no la haya.

En general, para demostrar que $A$ no implica $B$ debe dar un ejemplo de $A$ que se produzcan sin $B$ . En este caso, eso significa que tiene que proporcionar un ejemplo de $a,b,c \in \mathbb{R}$ para que $1 + ab > 0$ y $1 + bc > 0$ (eso es $A$ ) pero $1 + ac \leq 0$ (es decir, $B$ no se sostiene).

El enfoque más sencillo es elegir un ejemplo que sea el más fácil de trabajar - me gusta usar $0$ mucho. $a = 0$ o $c = 0$ no funcionará, porque entonces $1 + ac$ será automáticamente $1$ . Pero podríamos intentar $b = 0$ . Entonces obtenemos automáticamente $1 + ab > 0$ y $1 + bc > 0$ por lo que sólo tenemos que elegir un $a$ y $c$ para que $1 + ac \leq 0$ . $a = 1$ y $c = -1$ funciona, así que mi contraejemplo es $a = 1$ , $b = 0$ y $c = -1$ .