¿Existe un teorema del valor intermedio para las funciones lineales?

Question

Supongamos que $ (A,\Sigma,m) $ es un espacio de medidas y $ H $ es una función lineal sobre $ {L^{\infty}}(A,\Sigma,m) $ . Si $$ \mathcal{U} := \left\{ u: A \to \mathbb{R} ~ \Bigg| ~ \text{$ u $ is measurable, bounded and $ \int_{A} u ~ d{m} = 1 $} \right\} $$ y hay funciones $ u_{1},u_{2} \in \mathcal{U} $ tal que $$ H(u_{1}) \leq 0 \quad \text{and} \quad H(u_{2}) \geq 0, $$ entonces mi pregunta es:

¿Existe una función $ u_{3} \in \mathcal{U} $ tal que $ H(u_{3}) = 0 $ ?

Answer 1

Para cada $ t \in [0,1] $ , defina $ v_{t} \in \mathcal{U} $ de la siguiente manera: $$ v_{t} \stackrel{\text{def}}{=} t \cdot u_{1} + (1 - t) \cdot u_{2}. $$ Evidentemente, cada $ v_{t} $ es medible y acotada, siendo una combinación lineal de funciones medibles y acotadas. También, \begin{align} \forall t \in [0,1]: \quad \int_{A} v_{t} \,d{m} &= \int_{A} [t \cdot u_{1} + (1 - t) \cdot u_{2}] \,d{m} \\ &= \int_{A} t \cdot u_{1} \,d{m} + \int_{A} (1 - t) \cdot u_{2} \,d{m} \\ &= t \int_{A} u_{1} \,d{m} + (1 - t) \int_{A} u_{2} \,d{m} \\ &= t \cdot 1 + (1 - t) \cdot 1 \\ &= 1. \end{align} Por lo tanto, de hecho, $ v_{t} \in \mathcal{U} $ para todos $ t \in [0,1] $ . Por la linealidad de $ H $ obtenemos $$ \forall t \in [0,1]: \quad H(v_{t}) = H(t \cdot u_{1} + (1 - t) \cdot u_{2}) = t \cdot H(u_{1}) + (1 - t) \cdot H(u_{2}). $$ Observe que $ H(v_{0}) = H(u_{2}) \geq 0 $ y $ H(v_{1}) = H(u_{1}) \leq 0 $ . Aplicando el Teorema del Valor Intermedio a la función continua $$ t \longmapsto t \cdot H(u_{1}) + (1 - t) \cdot H(u_{2}) $$ definido en el intervalo cerrado $ [0,1] $ vemos que existe un $ t^{*} \in [0,1] $ para lo cual $ H(v_{t^{*}}) = 0 $ . Por lo tanto, podemos establecer $ u_{3} := v_{t^{*}} $ .