Demostrar que la integral $\int_0^1\frac{\log x}{x-1}dx$ existe

Question

¿Cómo se demuestra que \begin{equation*}\int_{0}^{1}\frac{\log x}{x-1}\mathop{}\!\mathrm{d}x\end{equation*} ¿existe? (sin utilizar el $\text{Li}_2$ función, etc. - Sólo quiero mostrar la existencia, no calcular el valor).

Answer 1

$\frac{\log x}{x-1}$ puede extenderse a una función continua en 1 como $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1$ por lo que no hay problema de convergencia de la integral allí. Para $x \to 0^+$ es fácil demostrar que $\frac{\log x}{x-1} < 2 \log x$ en la vecindad correcta de $0$ y $ 2 \log x$ converge, por lo que la integral dada es convergente.

Answer 2

Con $y:=1-x$ la integral se convierte en $-\int_0^1\frac{\ln(1-y)}{y}dy=\int_0^1\sum_{n\ge1}\frac{y^{n-1}}{n}dy=\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^2}$ que converge por comparación con $\frac1n-\frac{1}{n+1}$ . (En particular, el teorema de convergencia monótona justifica el intercambio suma-integral). Sostengo que es una prueba de convergencia que no calcula la integral. Si se evalúa su valor, No puedo ser responsable .

Answer 3

Nota

\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{\log x}{x-1}dx &= \int_{0}^{1}\frac{\log x} {x^2-1}dx+ \int_{0}^{1}\frac{x\log x}{x^2-1}dx\\ & = \frac12 \int_{0}^{1} \left( \frac{\log x}{x-1}- \frac{\log x}{x+1} \right)dx + \frac14\int_{0}^{1}\frac{\log t}{t-1}dt\\ \end{align*}

lo que lleva a

$$ \int_{0}^{1}\frac{\log x}{x-1}dx=-2 \int_{0}^{1}\frac{\log x}{x+1}dx< -2 \int_{0}^{1}\log x dx=2 $$

Por lo tanto, la integral está acotada, por lo que existe.