Una relación técnica

Question

He encontrado la siguiente relación técnica interesante.

$$ \pi^2 = \inf_{x \in \mathcal{D}(0,1) \setminus\{0\}} \frac{\int_0^1 |x'(s)|^2 \, \text{d}s}{\int_0^1 |x(s)|^2 \, \text{d}s}$$

donde $\mathcal{D}(0,1)$ es el conjunto de todas las funciones suaves en $(0,1)$ con un soporte compacto.

Increíble. ¿Puede alguien dar una pista de por qué esto es cierto? Gracias.

Answer 1

En primer lugar, escribimos la expansión de Fourier de $x(t)$ :

$$x(t) = \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(n\pi t) + \sum_{n=1}^\infty b_n \cos (n\pi t)$$

(el punto principal es que $x(t)$ no tiene ningún término constante, ¿sabes por qué?). Así,

$$\int_0^1 |x(t)|^2 dt = \sum_{n=1}^\infty a_n^2 + b_n^2$$

y

$$\int_0^1 |x'(t)|^2 dt = \pi ^2 \sum_{n=1}^\infty n^2(a_n^2 + b_n^2)$$

$$\Rightarrow \frac{\int_0^1|x'(t)|^2 dt}{\int_0^1 |x(t)|^2 dt} = \frac{\pi^2 \sum_{n=1}^\infty n^2 (a^2_n + b_n^2)}{ \sum_{n=1}^\infty a_n^2 + b_n^2} \geq \pi^2\frac{\sum_{n=1}^\infty a^2_n + b_n^2}{\sum_{n=1}^\infty a_n^2 + b_n^2} = \pi^2 $$

Con la igualdad como $f(t)= \sin(\pi t)$ . (En sentido estricto no se alcanza el ínfimo ya que esta función no tiene soporte compacto).

Answer 2

Puedo demostrar que si $\pi^2$ es un límite inferior, entonces debe ser el mayor. Basta con considerar las aproximaciones uniformes de $x(s)=\sin(\pi s)$ por funciones con soporte compacto. Entonces $x'$ se aproximará en el sentido de $L^2$ y así se recupera el resultado. No estoy seguro de por qué $\pi^2$ es un límite inferior, sin embargo.