Tangentes en la misma dirección

Question

Tengo una forma (por ejemplo, una elipse) con algunos puntos en ella (por ejemplo $8$ ). A continuación he representado estos $8$ puntos junto con $2$ vectores en cada punto:

• Un vector de gradiente
• El vector tangente (o una base que abarque la línea tangente)

Como puedes ver, las tangentes no siguen la misma "dirección", es decir, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. No estoy seguro de por qué es así, pero está bien. ¿Existe alguna forma de tomar un conjunto de vectores tangentes como éste y transformarlos para que todos apunten "en la misma dirección", es decir, todos en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario?

Answer 1

Consideremos el caso de la elipse, pero el principio es válido de hecho para cualquier curva (como se puede ver en la segunda figura $(x(t)=k \cos(3t),y(t)=k \sin(t))$ ).

Partamos de la representación parametrizada:

$$\begin{cases}x(t)&=&a \cos(t)\\y(t)&=&b \sin(t)\end{cases}$$

Toma el unidad vector tangente:

$$T=\begin{cases}x'(t)/n(t)&=&-a \sin(t)/n(t)\\y'(t)/n(t)&=& \ \ \ b \cos(t)/n(t)\end{cases} \ \ \text{where} \ \ \ n(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$$

y tomar este vector normal unitario a T (podemos elegir entre éste y su opuesto):

$$N=\begin{cases} \ \ y'(t)/n(t)&=&b \cos(t)/n(t)\\-x'(t)/n(t)&=&a \sin(t)/n(t)\end{cases}$$

De este modo, la base $(N,T)$ es directa. De hecho:

$$\det(N,T)=\begin{vmatrix}\ \ \ y'(t)/n(t)&x'(t)/n(t)\\-x'(t)/n(t)&y'(t)/n(t) \end{vmatrix}=(y'(t)^2+x'(t)^2)/n(t)^2=1$$