La razón por la que Do Carmo restringe ese comentario a las variedades no compactas es por algunos resultados que demostrará más adelante, que muestran entre otras cosas que una variedad con curvaturas seccionales limitadas por debajo por una constante positiva debe tener un punto conjugado a lo largo de cada geodésica. En particular, como comentó @MoisheCohen, si $M$ es compacta y tiene una curvatura seccional estrictamente positiva, entonces la curvatura tiene un límite inferior positivo y por tanto $M$ no tiene polos.
Pero no entiendo tu comentario de que la existencia de polos en el caso de curvatura positiva "justificaría la hipótesis $K\le 0$ ." Mi interpretación de ese comentario es más bien la contraria: el teorema de Hadamard lo demuestra para las variedades completas, $K\le 0 $ es suficiente para garantizar la existencia de polos, por lo que cabe preguntarse si también es necesario. El comentario de Do Carmo y el ejemplo del paraboloide pretenden demostrar que $K\le 0$ está lejos de ser necesaria, en el sentido de que incluso es posible encontrar un colector completo con $K>0$ en todas partes y que, sin embargo, tiene un poste.
Por cierto, cabe señalar que la definición de polo de Do Carmo no es estándar. La mayoría de los geómetras riemannianos definen un polo como un punto $p\in M$ tal que el mapa exponencial restringido $\exp_p\colon T_pM \to M$ es un difeomorfismo global. Esto implica que $p$ no tiene puntos conjugados, pero es mucho más fuerte. Por supuesto, utilizando la definición más habitual de polo, es inmediato que una variedad con un polo tiene que ser difeomorfa a $\mathbb R^n$ , por lo que nunca puede ser compacto.
