La geometría no conmutativa de álgebras de von Neumann?

Question

El Gelfand transformar da una equivalencia de categorías a partir de la categoría de unital, conmutativa $C^*$-álgebras con unital $*$-homomorphisms a la categoría de compactos de Hausdorff espacios continuo con los mapas. Por lo tanto el estudio de la $C^*$-álgebras se refiere a veces como la no-conmutativa de la topología.

Todos difusa conmutativa álgebras de von Neumann actuando sobre el espacio de Hilbert separable son isomorfos a $L^\infty[0,1]$. Por lo tanto el estudio de las álgebras de von Neumann se refiere a veces como la no-conmutativa teoría de la medida.

Connes propuso que la definición de un no-conmutativa manifold es un espectral triple $(A,H,D)$. De un $C^*$-álgebra, podemos recuperar la "diferenciable elementos" como aquellos elementos de la $C^*$-álgebra $A$ que han delimitado colector con el operador de Dirac $D$.

¿Qué pasa si empezamos con una de von Neumann álgebra? ¿La definición misma de dar un "diferenciable" estructura"? Es allí una manera de recuperar una $C^*$-álgebra de una de von Neumann álgebra que contiene el "diferenciable" de la estructura de nuestro no conmutativa medir el espacio? Esto sería semejante a nuestra von Neumann álgebra ser $L^\infty(M)$ $M$ una compacta orientable colector (así que tenemos una forma de volumen). O son álgebras de von Neumann simplemente "demasiado grande" para esto?

Uno de los motivos por los que estoy haciendo esta pregunta es Connes' espectral de la caracterización de los colectores (arXiv:0810.2088v1), que muestra obtenemos un "Gelfand de la teoría de Riemann colectores de si el espectro de triples satisface ciertos axiomas. Connes comienza con el álgebra de von Neumann $L^\infty(M)$, en lugar del $C^*$-álgebra $C(M)$.

Answer 1

Definitivamente, usted necesitar un poco más de estructura en el álgebra de von Neumann, pero no estoy muy seguro de lo que estás pidiendo. Intuitivamente me gustaría pensar que así como los diferentes espacios topológicos comparten la misma medida de estructura de espacio, tratando de extraer NC-topológica de la información de un álgebra de von Neumann va a necesitar extra estructura. (Por ejemplo, nadie hace topológica de la K-teoría de álgebras de von Neumann como lo que yo sé.)

Veo que en la página 7 de la Restricción de papel, que muestra que el WOT-cierre con Un" hace recordar la original algebra a si los datos extra que se dan (el operador de Dirac y de su interacción con Una).

Aunque probablemente no sea lo que quieres: si usted está buscando en el grupo de álgebras de von Neumann y mirando a la "geometría de la doble grupo", a continuación, el grupo original puede ser recuperado de un adecuado subproducto en el original (Hopf) álgebra de von Neumann. Este es vagamente en las líneas de Weil teorema que "esencialmente" se recupera un localmente compacto grupo y su medida de Haar de un apreciable grupo.

Answer 2

La gente hizo considerar la noción de vonNeumann espectral triple.

(también se hace referencia a nLab:espectral triple)

Answer 3

En primer lugar, permítanme señalar que no se necesita una condición adicional de diffuseness y separación en la declaración de de Gelfand-Neumark teorema para conmutativa álgebras de von Neumann. De hecho, la categoría de la propiedad conmutativa álgebras de von Neumann es contravariantly equivalente a la categoría de localizables espacios medibles. La definición de medir el espacio incluye el σ-ideal null conjuntos (es decir, conjuntos de medida 0) como un dato adicional. Localizable significa aquí una de varias propiedades equivalentes (Radon-Nikodym, Representación de Riesz, integridad de Boolean algebra de conjuntos medibles etc.). Es extremadamente natural de la propiedad en el sentido de que no se puede demostrar un único interesante teorema de la medida la teoría sin necesidad de la medida de espacio para ser localizable.

En cuanto a los principales pregunta, dudo que Limita la definición tiene ningún sentido en el mundo de las álgebras de von Neumann. Mira la conmutativa caso. La categoría de conmutativa álgebras de von Neumann (por lo tanto la categoría de localizables medibles espacios) es contravariantly (resp. covariantly) equivalente a la categoría de hyperstonean espacios y hyperstonean mapas (un subconjunto de continuo mapas) por Gelfand-Neumark la dualidad. Connes' definición en la conmutativa caso equipa un compacto Hausdorff topológica del espacio con una estructura de una orientada a Riemann suave colector. Pero hyperstonean espacios no tienen ninguna suave estructuras debido a que no son localmente Euclídeo.

Yemon Choi sugerencia suena más razonable para mí, es decir, hay que introducir datos adicionales para recuperar el original espacio topológico de su hyperstonean versión (es decir, recuperar un espacio topológico de su medible en el espacio).

Answer 4

Alain Connes prueba en el papel de "única invariante en la Geometría de Riemann" ( http://arxiv.org/abs/0810.2091) que toda la información en una geometría de Riemann puede ser decodificado por el espectro de un operador de Dirac y la posición relativa de dos conmutativa álgebras de von Neumann. No sé cómo traducir esto en una declaración acerca de no conmutativa espacios sin embargo, me voy a tener que buscar el papel en más detalle.

Answer 5

Supongo que vagamente relacionadas con la idea de que es lo que sucede Localmente Compacto de los Grupos Cuánticos (como en la Kustermans + Vaes axiomatisation). Aquí usted puede definir todo el uso de álgebras de von Neumann (von Neumann álgebra con un subproducto normal que tiene a la izquierda y a la derecha invariante pesos: la conmutativa caso es L^\infty(G) con la izquierda y la derecha Haar medidas). Sin embargo, se parte de la teoría de que siempre obtendrá una (única) C*-álgebra versión del objeto (en el conmutativa caso, recuperar C_0(G)). Por el contrario, a partir de la la C*-álgebra axiomatisation (que es más complicado) que usted puede construir un álgebra de von Neumann. Por lo tanto, aquí, la C* y von Neumann mundos son equivalentes.

Esto es exactamente lo que Dmitri (y Yemon) menciona: es un proceso que le permite cubrir la estructura topológica del grupo G de saber que es medir el espacio L^\infty(G) (siempre y cuando usted tiene estos bits adicionales de datos flotante).