Dejemos que $\ell^p$ con $1<p<+\infty$ y $F\subseteq \ell^p$ , de tal manera que $$F = \left\{x=(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,:\,\sum_{k=1}^\infty x_k=0\right\}$$ Demostrar que $F$ es un subespacio denso en $\ell^p$ .
Es fácil demostrar que $F$ es un subespacio. Pero para la densidad estoy tratando de usar esto Nota: de Análisis Funcional de Brezis
El corolario 1.8 se utiliza muy a menudo para demostrar que un subespacio lineal $F\subseteq E$ es denso. Basta con demostrar que toda función lineal continua sobre $E$ que se desvanece en $F$ debe desaparecer en todas partes en $E$ .
En realidad, sé que $(e_k)_{k\in\mathbb{N}}$ es una base de Shauder en $\ell^p$ con que para cualquier $x=(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ $$x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k$$ Y, para cualquier $f\in(\ell^2)^*$ $$|f(x)|=\left|\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \alpha_k f(e_k)\right|\leq C \|x\|$$ Pero no sé cómo usar eso $f(y)=0$ para cualquier $y\in F$ .
