Existencia de una solución para el flujo de gradiente en una variedad riemanniana

Question

Encontré el siguiente teorema en Helmke & Moore, Optimización y sistemas dinámicos (Anexo C.12):

"Sea : M R una función suave sobre una variedad riemanniana con conjuntos de subniveles compactos, es decir, para todo c R el conjunto de subniveles {x M | (x) c} es un subconjunto compacto (posiblemente vacío) de M. Entonces toda solución x (t) M del flujo de gradiente en M existe para todo t 0."

No dejan ninguna referencia. Estoy buscando una versión de este teorema que relaje la suavidad ( $C^\infty$ ) sea continuamente diferenciable, junto con cualquier otro supuesto que sea necesario.

He encontrado tales teoremas en otros lugares, pero incrustan $\Phi$ en un espacio de Hilbert (y exigir que sea convexo), algo que me gustaría evitar.

Answer 1

Supongo que te refieres al sistema ODE \begin{equation} \tag{$*$} \dot{x} = {\color{red}-} {\nabla}\Phi(x). \end{equation}

Supongamos que $\Phi \colon M \to \mathbb{R}$ es un $C^2$ que tiene conjuntos de subniveles compactos. Fijar $x_0 \in M$ y poner $c := \Phi(x_0)$ . Sea $x \colon [0, \tau_{\mathrm{max}}) \to M$ sea la solución máxima definida (a la derecha) de ( $*$ ) que satisface la condición inicial $x(0) = x_0$ . Tenemos $\Phi(x(t)) \le c$ Es decir, $\{\, x(t) | t \in [0, \tau_{\mathrm{max}})\, \} \subset \{\, \xi \in M | \Phi(\xi) \le c \,\}$ . Como este último es compacto, el teorema de extensión estándar para los sistemas de EDO (véase, por ejemplo, el corolario 2.15 en las páginas 52-53 de la obra de Teschl Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos ) da $\tau_{\mathrm{max}} = \infty$ .

Creo que la suposición de suavidad en $\Phi$ se puede relajar a $C^1$ pero entonces el campo vectorial $-\nabla\Phi$ es sólo continua, y puede haber dificultades con la unicidad de las soluciones.

Answer 2

Esto parece ser una simple aplicación de la "imagen inversa", aquí hay una referencia de wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Image_(matemáticas)

La imagen inversa tiene una bonita propiedad que se describe a continuación: $$ (A\rightarrow B) \rightarrow (B \rightarrow 2) \rightarrow (A \rightarrow 2) $$ Esto se implementa utilizando la composición de funciones. Para aplicar esto a su situación, se ve así: $$ \Phi :: M \rightarrow R $$ $$ k \leq c :: R \rightarrow 2$$ $$ (M \rightarrow R) \rightarrow (R \rightarrow 2) \rightarrow (M \rightarrow 2)$$ $$ \Phi(t) \leq c :: M \rightarrow R \rightarrow 2 :: M \rightarrow 2 $$