Demostrar que una serie converge

Question

Dejemos que $(x_n)$ y $(y_n)$ sean secuencias tales que la secuencia de sumas parciales de la serie $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$ está acotada, y además la serie

$$\sum_{n=1}^\infty{|y_n - y_{n+1}|} $$ converge, mientras que $y_n \to 0 $ para $x \to \infty$

Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^\infty{x_n{y_n}}$ converge.

Una pista: utilizar la fórmula de la suma por partes

Answer 1

Una pista:

1. Compruebe que $$ \sum\limits_{n=1}^N x_ny_n= y_N X_n-\sum\limits_{n=1}^N X_n(y_{n+1}-y_n) $$ donde $X_n=\sum\limits_{n=1}^N x_n$

2. Desde $X_n$ está acotado $$ \sum\limits_{n=1}^N x_ny_n\leq M(|y_N|+\sum\limits_{n=1}^N|y_{n+1}-y_n|) $$ para algunos $M\geq 0$

3. Queda por tomar un límite $N\to\infty$ .