Definición de la convergencia local suave de una secuencia de hipersuperficies

Question

Estoy leyendo una nota de clase sobre flujos de curvatura media (por C. Mantegazza) y estudiando sobre el análisis de singularidades de tipo I.

Dejemos que $M$ sea un liso cerrado $n$ -y un colector de dimensiones. $\varphi:M\times[a,\infty)\stackrel{C^\infty}\to\mathbb{R}^{n+1}$ sea un mapeo tal que para cada $s\in[a,\infty)$ el mapa $\varphi_s:=\varphi(\underline\ ,s):M\to\mathbb{R}^{n+1}$ es una inmersión.

Entonces, ¿qué significa la afirmación "una secuencia de hipersuperficies $\left(\varphi_{s_i}\right)_i$ converge localmente de forma suave (hasta la reparametrización) a alguna hipersuperficie límite $M_\infty$ ¿"Significa"?

Leyendo el siguiente contexto en mi libro de texto, la afirmación anterior parece ser estrictamente más tosca que la de que "la secuencia de mapas $(\varphi_{s_i})$ converge a una inmersión $\varphi_\infty$ en $C^\infty(M,\mathbb{R}^{n+1})$ ". Parece que $M_\infty$ puede ser un subconjunto no limitado de $\mathbb{R}^{n+1}$ mientras que $M$ se supone que está cerrado.

La figura de abajo es lo que estoy leyendo en el libro de texto. Aquí ponemos $\tilde\varphi$ para ser el reescalado de una solución suave del flujo de curvatura media $\dfrac{\partial \varphi_t}{\partial t}=\Delta^t\varphi_t$ que desarrolla una singularidad de tipo I en t=T.

Me gustaría que me mostraras un ejemplo de convergencia no trivial de hipersuperficies. Aquí el término "trivial" significa la convergencia de las inmersiones en $C^\infty(M,\mathbb{R}^{n+1})$ .

Gracias.

Answer 1

Esto no está muy claro y (curiosamente) se ha utilizado (sin pruebas) ya en el trabajo de Huisken' 1990 cuando definió la singularidad de tipo I. La cuestión es que cuando se tiene una singularidad de tipo I, la segunda forma fundamental satisface un límite

$$\max _{\varphi_t(\cdot)} |A|^2 \le \frac{C_0}{T-t}$$

para alguna constante fija $C_0$ . Entonces se puede definir el reescalado (estoy siguiendo el libro de XP Zhu, por lo que la constante de normalización podría ser diferente)

$$\tilde \varphi (x, \tau) = \frac{1}{\sqrt{2(T-t)}} (\varphi_t(x) -P), \ \ \tau = -\frac 12 \log\left( \frac{T-t}{t}\right)$$

Este factor de escala $\frac{1}{\sqrt{2(T-t)}}$ tiene la ventaja de que $$\sup_\tau |\tilde A|^2 \le C$$

para todos $\tau$ , donde $\tilde A$ es la segunda forma fundamental de $\tilde \varphi$ . Ahora usando la ecuación (parabólica) para $|\tilde A|^2$ se puede demostrar que existen límites no formales en todas las derivadas superiores:

$$\sup_\tau |\tilde\nabla^m \tilde A|^2 \le C(m),\ \ \ \forall m.$$

Y esta condición (junto con el hecho de que $\tilde\varphi_\tau$ no escapan al infinito) obligará a que cada vez que se elija $\tau_i\to \infty$ hay una subsecuencia para que $\tilde \varphi_{\tau_i}$ converge localmente de forma suave a una hipersuperficie $\phi_\infty : M_\infty \to \mathbb R^{n+1}$ .

Tienes razón en que $M_\infty$ no será topológicamente lo mismo que $M$ en general. Por ejemplo, se puede empezar con el toro estándar en $\mathbb R^3$ que es una superficie de revolución. Entonces cuando se aplica el MCF, cuando el toro se encoge a un $\mathbb S^1$ . Ahora bien, si eliges cualquier punto $P$ en este $\mathbb S^1$ y aplique el soplado en $P$ , tu obtienes en realidad un cilindro $M_\infty$ que no es el toro.

Ahora vuelve a la convergencia reclamada. Se puede encontrar una prueba en el papel por Patrick Breuning (Teorema 1.3) en 2012. También hay algunos trabajos anteriores sobre hipersuperficies, puedes encontrarlo en la referencia. Así que tienes razón en que no es una convergencia como un mapeo $\varphi_i \to \varphi_\infty$ pero sigue siendo bastante fuerte como convergencia (localmente suave)