La derivación de la fórmula del vértice de una parábola

Question

Me estoy tomando un curso Básico sobre las Secciones Cónicas, y uno de los que estamos hablando es de una parábola de la forma

$$y = a x^2 + b x + c$$

Mi maestro me dio la fórmula:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

como el $x$ coordenadas del vértice.

Le pregunté por qué, y ella me dijo que no para decirle cómo hacer su trabajo.

Mi inteligente amigo murmuró algo acerca de lo que involucra el cálculo, pero siempre he encontrado un lugar extraño compañeros y dudo que me gustaría ser capaz de entender una solución que implique el cálculo, debido a que no tengo de fondo en ella. Si utiliza algo que usted sabe de cálculo, explicar a alguien que no tiene antecedentes en él. Porque estoy seguro que no.

Hay una puramente algebraica o geométrica pero elegante derivación de la $x$ coordinar de una parábola de la forma anterior?

Answer 1

Ya tantas respuestas, pero no he visto mi favorito publicado, así que aquí es otro.

El vértice se produce en la línea vertical de simetría, que no es afectada por el desplazamiento hacia arriba o hacia abajo. Para restar $c$ para obtener la parábola $y=ax^2+bx$ tener el mismo eje de simetría. Factoring $y=x(ax+b)$, vemos que el $x$-intersecciones de esta parábola se producen en$x=0$$x=-\frac{b}{a}$, y, por tanto, el eje de simetría se encuentra a medio camino entre la, a $x=-\frac{b}{2a}$.

Answer 2

Por el vértice supongo que te refieres a el mínimo/máximo punto de la parábola. De hecho, este resultado puede ser descubierto fácilmente a través de un poco de cálculo, pero también hay una simple puramente algebraico forma, que voy a presentar aquí.

Vamos a considerar un genérico de segundo grado de la expresión:

$y = ax^2 + bx + c$

Ahora podemos completar el cuadrado en esta fórmula.

$y = a[x^2 + bx/a + c/a]$

$y = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a]$

La expresión $- (b/2a)^2 + c/a$ es una constante (no depende de x), de modo que pueda reemplazar con k para la materia de discusión.

$y = a[(x + b/2a)^2 + k]$

Ahora, dependiendo de si es positivo o negativo, la parábola dada por y tendrán un máximo o mínimo. Como a y k son fijos, esto debe ocurrir al $(x + b/2a)^2$ es cero (sabemos que no puede ser menor que cero, y se puede extender hasta el infinito).

Por lo tanto, sabemos que para $(x + b/2a)^2$ a ser cero, $x = -b/2a$. Esto a su vez implica que la función y está en un mínimo o un máximo, cuando esta es verdadera. Q. E. D.

Answer 3

Parábolas de la forma que se describe (y = ...) son simétricas a través de una línea vertical a través de sus vértices. Vamos a llamar a que la línea x = k. Esto significa que si la gráfica cruza el eje de x (lo que significa que $ax^2+bx+c=0$ tiene solución real(s)), deben ser equidistantes de x = k, entonces (k,0) debe ser el punto medio del segmento con extremos en los ceros de la ecuación cuadrática o k es el promedio de los ceros. A partir de la fórmula cuadrática, los dos ceros de la ecuación cuadrática se $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, de modo que su suma es $-\frac{b}{a}$ y su promedio es $k=-\frac{b}{2a}$. Así, la coordenada x del vértice debe ser $-\frac{b}{2a}$.

Si la parábola no cruza el eje x (no hay soluciones reales), no es otra parábola con ecuación de $y=ax^2+bx+c'$ algunos $c'$ para que la gráfica es una traslación vertical de la gráfica de la original cuadrática, pero cruza el eje de x. Su eje de simetría es $x=-\frac{b}{2a}$ y porque es una traslación vertical de la original, el eje de simetría de la original también es $x=-\frac{b}{2a}$, de modo que los vértices de ambos han coordenada x $-\frac{b}{2a}$.

Answer 4

El vértice de una parábola es el punto sobre el eje de simetría que lo cruza (Wikipedia).

El punto de $(x,y)=\left( 0,0\right) $ es el vértice de la parábola dada por $y=ax^{2}$. Haciendo el cambio de coordenadas

$X=x+\dfrac{b}{2a},Y=y+\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}$,

la ecuación de $y=ax^{2}+bx+c$ es transformado en $Y=aX^{2}$, cuyo vértice es el punto de $(X,Y)=(0,0)$, es decir,$(x,y)=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)$.

(Este cambio de coordenadas es una traducción de ambos ejes $x$, $y$, respectivamente, por $-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}$.)

Por lo tanto, el $x$-coordenadas del vértice de la parábola es $-\dfrac{b}{2a}$.

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Edit. Ejemplo. Parcela de $y=2x^2-x+4$; azul ejes: $X=x-1/4,Y=y-31/8$

Answer 5

Me gusta Americo respuesta utilizando la traducción de y = ax^2. Pero para terminar, debemos, al menos, tenga en cuenta que ax^2 tiene un máximo o mínimo en <0,0>, que es bastante obvio, y que la traducción conserva el orden y, por tanto, máximos y mínimos, que es bastante fácil.