Espacio topológico, colector, conjuntos abiertos

Question

Consideremos un homeomorfismo $f$ enviando un conjunto abierto $X$ de un colector a un conjunto abierto $Y$ de otro colector: $$ f\,:~X \longrightarrow Y~~. $$ Siendo un homeomorfismo, $f$ es continua -- y también lo es su inversa $g = f^{-1}~$ : $$ g\,:~ Y\longrightarrow X ~~. $$

Entonces un subconjunto (no necesariamente abierto) $$ A \subset X $$ es mapeado por $f$ a un subconjunto (no necesariamente abierto) $f A\subset Y$ .

Las restricciones resultantes de $f$ y $g = f^{-1}$ son:

$$ f_{~|A}\,: ~~ A \longrightarrow f(A), $$ $$ g_{~|f(A)}\,: ~~~ f(A) \longrightarrow A ~~. $$

Ahora, si postulo que la imagen $f(A)~$ ${\underline{\mbox{is}}}$ abierto, ¿implica eso que la preimagen $A$ ¿también está abierto?

Dicho brevemente: ¿una restricción de un mapa continuo es también continua?

/Ciertamente lo es en el cálculo, pero ¿cómo demostrarlo en la topología?

Answer 1

Si $f:X\to Y$ es un homeomorfismo y $A\subseteq X$ entonces $f_{|A}:A\to f(A)$ también es un homeomorfismo. Independientemente de lo que $A$ es, abierto o no.

En efecto, ser un homeomorfismo significa que existe un inverso continuo $g:Y\to X$ . Ahora bien, una restricción de función continua es continua y por tanto $f_{|A}$ es continua. Obviamente $g_{|f(A)}:f(A)\to A$ está bien definido (porque $g(f(A))=A$ ) y también continua. Este $g_{|f(A)}$ es la inversa de $f_{|A}$ .

Answer 2

OK, creo que ya lo tengo, gracias a @NDewolf y @freakish.

En mi pregunta faltaba un detalle: Me olvidé de decir que $A$ se da la topología del subespacio. Con este detalle añadido, la respuesta debería ser así:

Si $f$ es continua, lo que significa que para cualquier $f(A)$ su preimagen $A$ debe estar abierto.

En concreto, la restricción $f_{|A}$ es continua dado que $A$ está dada la topología del subespacio .