Dependencia de los vectores: antes y después de la transformación lineal

Question

Tengo una pregunta bastante sencilla que me ha confundido:

V es un espacio vectorial de dimensión finita. $T: V \to V$ es una transformación lineal. La información que se ha dado en cuestión: $\operatorname{Im} T = \ker T$

Quiero saber si lo que estoy haciendo es correcto: Tomé sólo para exmaple: $\dim \ker T = \dim \operatorname{Im} T = 2$

Tomo $D = \{v_1,v_2\}$ como base para $\ker T$ y $\operatorname{Im} T$

entonces añado vectores y digamos $B = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ es la base de $V$ , y exijo que $v_3$ y $v_4$ seguir estos requisitos: $T(v_3) = v_1$ , $T(v_4) = v_2$ . (Lo hice por una razón, no escribí aquí toda la pregunta) Pero tengo que demostrar que esto es base de $V$ , linealmente independientes y que se extienden $V$ .

Así que traté de demostrar que es linealmente independiente: Asumo que : $a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + a_4v_4 = 0$ Entonces apliqué $T$ en él: $T(a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + a_4v_4) = 0$

$a1 * T(v1) + a2* T(v2) + a3*T(v3) + a4* T (v4) = 0$ .

$v_1$ y $v_2$ son de $\ker T$ así que $T(v_1) = 0$ y $T(v_2) = 0$ ,

así que entiendo que hay una dependencia lineal, pero no sé dónde está la dependencia: ¿la acción que hice significa que $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ son linealmente dependientes o significa SOLO que $T(v_1)$ , $T(v_2)$ , $T(v_3)$ , $T(v_4)$ son dependientes?

Gracias

Answer 1

Desde $\dim\mathop{\rm Ker} T > 0$ el operador $T$ es singular, por lo que reduce la dimensión del espacio (porque $\dim\mathop{\rm Im} T = n - \dim\mathop{\rm Ker} T < n$ ), lo que significa que mapea cualquier base a un conjunto linealmente dependiente (de vectores que abarcan su imagen).

En otras palabras, $T(B)$ es un conjunto de $4$ vectores linealmente dependientes, porque $T(B) \subseteq \mathop{\rm Im} T$ que es un espacio bidimensional (por lo que no puede tener más de 2 vectores linealmente independientes).