¿Es todo anillo graduado-noetheriano (izquierdo) noetheriano?

Question

Llamo a un $\mathbb{Z}$ -anillo graduado (no conmutativo, asociativo, unital) $A$ (izquierda) graded-Noetherian si cada ideal homogéneo (izquierda) es finitamente generado, y (izquierda) Noetherian si es (izquierda) Noetherian como anillo.

En el entorno conmutativo, creo que puedo demostrar que un anillo gradado-noetheriano es noetheriano. Esto se deduce básicamente del teorema de la base de Hilbert (la noeterianidad graduada basta para demostrar que $A_0$ es noetheriano y que $A$ está generada finitamente sobre $A_0$ ).

Dado que el teorema de la base de Hilbert falla de forma no conmutativa, la misma línea de razonamiento no funcionará en el entorno no conmutativo.

P: ¿Es todo anillo graduado-noetheriano (izquierdo) noetheriano?

Hice esta pregunta en MSE hace unos días y no obtuve ninguna respuesta, no estoy seguro de cuál es su lugar.

Answer 1

La respuesta es sí por el Corolario 2.2 en C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen, Anillos graduados con condiciones de finitud II, Com. Algebra 13 (1985), 605-618.

De forma más general, tenemos lo siguiente.

Dejemos que $G$ sea un grupo conmutativo. Todo epimorfismo $\psi\colon G\twoheadrightarrow H$ de los grupos conmutativos da lugar a la $\psi$ -funtor de ensanchamiento $\bullet_{[\psi]}$ de la categoría de $G$ -a la categoría de $H$ -anillos clasificados. Decimos que $\psi$ -El desmenuzamiento preserva la noeterianidad si siempre que $R$ es un $G$ -anillo graduado que es noetheriano como $G$ -Anillo clasificado, entonces el $H$ -anillo clasificado $R_{[\psi]}$ es noetheriano como $H$ -Anillo clasificado. Ahora, se deduce del resultado antes mencionado de Nastasescu y Van Oystaeyen (así como por un resultado probado independientemente dos años antes por Goto y Yamagishi):

$\psi$ -el engrosamiento preserva la noeterianidad para cada epimorfismo $\psi$ cuya fuente es $G$ si y sólo si $G$ es de tipo finito.

Para más detalles sobre el yoga del engrosamiento, véase. este artículo .