demostrar que una función $A$ tal que $ \rho (Ax,Ay)< \rho (x,y) $ $ \forall x\neq y $ no es necesario que tenga un punto fijo $ (Ax\neq x \space \forall x )$

Question

No conozco un ejemplo que $ \rho (Ax,Ay)< \rho (x,y) $ $ \forall x\neq y $ no es suficiente para la existencia de un punto fijo . ¿alguien puede ayudarme? por favor

Answer 1

$f:(0,1)\to (0,1)$ con $f(x)=x/2$ .

Answer 2

Un ejemplo aún más simple, aunque no en su totalidad $\mathbb R$ :
$$f\!: \mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\quad f(x) = \frac 12 x.$$ (Esto es lo que dijo ThePortakal en el comentario).

Answer 3

SUGERENCIA: Aprovecha tu espacio para ser $\Bbb R$ , y probar $A(x)=x-f(x)$ , donde $f$ es positivo y creciente y satisface

$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}<1$$

siempre que $x<y$ . Se puede conseguir un $f$ jugando con la función arctangente.

Answer 4

Estaba a punto de responder a esta pregunta aquí pero se marcó como un duplicado de este. Por lo tanto, voy a responder en este hilo.

Dejemos que $T$ sea un mapeo de un espacio métrico completo $X$ en sí mismo. ¿Cómo puedo demostrar que la condición $d(Tx, Ty) < d(x, y)$ , donde $x \neq y$ no es suficiente para la existencia de un punto fijo para $T$ ?

Dejemos que $$F(y) = \int_{-\infty}^y e^{-\pi x^2} dx.$$ Las propiedades relevantes de $F$ son que $F$ es estrictamente positivo, estrictamente creciente en $y$ y $$0 < F(y_1) - f(y_2) \le y_1 - y_2$$ siempre que $y_1 > y_2$ . (La convergencia de esta integral es evidente al comparar con $e^{-|x|}$ en $|x| > 1$ y monotonicidad porque el integrando es positivo. La última parte se deduce del Teorema del Valor Medio porque $F'(y) = e^{-\pi y^2}$ y $0 < e^{-\pi y^2} \le 1$ .) A continuación, afirmamos que $T(y) = y- F(y)$ es estrictamente decreciente: si $y_1 > y_2$ entonces las desigualdades $$0 < F(y_1) - F(y_2) \le y_1 - y_2$$ equivalen a $$y_1 - y_2 > y_1 - y_2 - (F(y_1) - F(y_2)) \ge 0.$$ La cantidad media anterior es $T(y_1) - T(y_2)$ así que $T$ disminuye las distancias en $\mathbb{R}$ pero claramente $T$ no tiene puntos fijos porque $T(y) < y$ para todos $y$ .