La tabla de esa página de Mathworld sugiere que $p(d) \rightarrow 0$ como $d \rightarrow \infty$ . Esa página también ofrece una fórmula para $p(d)$ en términos de una integral definida: $$ p(d) = 1 - \left[ \int_0^\infty I_0(t/d)^d e^{-t} dt \right]^{-1}, $$ donde $I_0$ es una "función de Bessel modificada" con series de potencias $$ I_0(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x/2)^{2n}}{n!^2} = 1 + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^4}{8^2} + \frac{x^6}{48^2} + \cdots . $$ [Para grandes $x$ se sabe que $I_0(x) \sim (2\pi x)^{-1/2} e^x$ por lo que el integrando decae como un múltiplo de $x^{d/2}$ para $x \rightarrow \infty$ y la integral es finita si $d>2$ .] Sustituyendo la serie de potencias por $I_0(x)$ en la integral, y expandiendo el término a través de $\int_0^\infty t^m e^{-t} dt = m!$ , produce $$ 1 + \frac1{2d} + \frac3{4d^2} + \frac3{2d^3} + \frac{15}{4d^4} + \frac{355}{32d^5} + \cdots $$ (los coeficientes en potencias de $1/2d$ son Secuencia OEIS A105227 ). A continuación, calculamos la serie asintótica $$ p(d) \sim \frac1{2d} + \frac1{2d^2} + \frac7{8d^3} + \frac{35}{16d^4} + \frac{215}{32d^5} + \cdots, $$ lo que parece coherente con la tabla de Mathworld. Los coeficientes en potencias de $1/2d$ son Secuencia OEIS A043546 Como suele ocurrir, encontrar algunos términos facilita la búsqueda de bibliografía. [Añadido más tarde: también lo hace la publicación en Mathoverflow; un comentario a esta respuesta de Folkmar Bornemann da una referencia que data de hace más de 55 años
Montroll, Elliot W: Caminatas aleatorias en espacios multidimensionales, especialmente en redes periódicas, J. Soc. Indust. Appl. Math. 4 (1956), 241-260 (MR0088110)
- Gracias. Aquí tienes gp código de esta serie de potencias en $w = 1/2d$ y sus coeficientes, bastante similar al código Maple de Flajolet reproducido en el Entrada en la OEIS :
N = 20
I1 = sum(n=0,N,x^n/n!^2,O(x^(N+1)));
Iw = subst(I1,x,w^2*x)^(1/(2*w));
g = sum(n=0,N,(2*n)!*polcoeff(Iw,n,x)) + O(w^(N+1));
p = 1 - 1/g
vector(N,n,polcoeff(p,n))
Esto devuelve
[1, 2, 7, 35, 215, 1501, 11354, 88978, 675569, 4175664, 1725333, -687775083, -19848956619, -438027976068, -8715988203509, -161989586455204, -2784493824166078, -41530410660307610, -406672888265416456, 4420077014249902362]
y gp lo calcula fácilmente para $N$ tan grande como 50, y con algo más de esfuerzo incluso para $N=100$ .]
La forma de la serie asintótica puede explicarse como sigue: para cada $k=1,2,3,\ldots$ la probabilidad de volver al origen en $2k$ pasos es $O(d^{-k})$ como $d \rightarrow\infty$ por lo que la probabilidad de retorno del $2k$ -paso da $p(d)$ a dentro de $O(d^{-(k+1)})$ y esta estimación es un polinomio en $1/2d$ con coeficientes enteros. Por ejemplo, el $k=1$ la probabilidad es $1/2d$ exactamente; para $k=2$ , añada $2!/(2d)^2 - O(d^{-3})$ ; "etc.".
