Necesito encontrar la siguiente integral definida

Question

Dejemos que $f(x)= e^x + 2x + 1$ y $g(x)$ sea la inversa de $f(x)$ .
Encuentre $\int_0^{e+3}g(x) dx$

Mi intento: He intentado encontrar la inversa de $f(x)$ pero no fue capaz de hacerlo. Entonces cambié al método de área. Pero no sé cómo proceder. Sé que si $A$ es el área de $f(x)$ con el eje x, entonces el área de $g(x)$ con el eje Y sería igual a $A$ . Pero no soy capaz de encontrar los límites correspondientes para la función inversa a integrar.

Answer 1

Por el cambio de variable $x=e^y+2y+1$ , dando $dx=(e^y+2)\,dy$ tenemos

$$\int_0^{e+3}g(x)\,dx=\int_{g(0)}^1y(e^y+2)\,dy=\left.((y-1)e^y+y^2)\right|_{g(0)}^1.$$