¿Qué es exactamente un parámetro en el sentido de la lógica de primer orden?

Question

¿Qué es exactamente un parámetro en el sentido de la lógica de primer orden?

¿Qué "opciones" hay para definirlas formalmente?

---

Mi pregunta es al menos algo similar a esta pregunta sino que se trata de cómo funcionan los parámetros en general.

---

Encuentro los parámetros algo confusos ya que parecen se sitúan en la frontera entre la sintaxis y la semántica . Los parámetros se utilizan en fórmulas bien formadas, pero se extraen del modelo subyacente.

Pienso en un parámetro como un nuevo símbolo constante en un nuevo lenguaje creado al adjuntar símbolos constantes autointerpretados a un lenguaje existente.

Así, por ejemplo, si $M$ es un $L$ -estructura y $A$ es un subconjunto de $M$ Entonces pienso en $L(A)$ como un nuevo lenguaje con un montón de nuevos símbolos constantes que se envían a sí mismos por la función de interpretación.

Parece que también debería ser posible, al menos en principio, hacer que un parámetro sea un tipo de entidad completamente diferente de un símbolo constante o variable y ampliar la definición de un término para que pueda ser una constante, una variable, un término compuesto encabezado por una función $f(t_1, t_2, \cdots, t_n)$ o un parámetro .

No estoy seguro de cuál es el enfoque más común o más natural para definir lo que es un parámetro.

Answer 1

Un parámetro es simplemente un elemento de una estructura.

Normalmente, utilizamos la palabra "parámetro" en un contexto en el que estamos interpretando algunas (pero no necesariamente todas) de las variables libres de una fórmula. Por ejemplo, dejemos que $\varphi(x,y)$ sea una fórmula con variables libres $x$ y $y$ (o dejar que $x$ y $y$ sean tuplas finitas de variables libres). Sea $M$ sea una estructura, y $b\in M$ un elemento (o una tupla de la misma longitud que $y$ ). Entonces $\varphi(x,b)$ es una fórmula con parámetro $b$ . Tenga en cuenta que $\varphi(x,b)$ ya no es un objeto puramente sintáctico. Pero esto no es un problema: formalmente, podemos verlo como la fórmula $\varphi(x,y)$ junto con una interpretación parcial de las variables libres por elementos de $M$ (A saber, $y$ se interpreta como $b$ pero $x$ se deja sin interpretar).

¿Qué hacemos con las fórmulas con parámetros? Preguntamos si los elementos/tuplas de $M$ satisfacerlos. Y esta pregunta tiene sentido: Dejemos que $a\in M$ sea un elemento (o una tupla de la misma longitud que $x$ ). Entonces decimos $a$ satisface $\varphi(x,b)$ si y sólo si $M\models \varphi(a,b)$ es decir, si y sólo si $(a,b)$ satisface $\varphi(x,y)$ . Formalmente, interpretamos las restantes variables libres $x$ como $a$ y aplicamos la definición de satisfacción en $M$ . El conjunto definido por $\varphi(x,b)$ es $\varphi(M,b) = \{a\in M\mid M\models \varphi(a,b)\}$ .

Ahora bien, hay situaciones en las que puede ser conceptual o técnicamente útil considerar una fórmula con parámetros como un objeto puramente sintáctico. Por ejemplo, normalmente el teorema de la compacidad se demuestra para teorías (conjuntos de sentencias), y luego queremos aplicarlo para realizar tipos (conjuntos de fórmulas con parámetros). En este tipo de situación, podemos (1) introducir un nuevo símbolo constante $c_b$ (o una tupla de símbolos constantes de la misma longitud que $y$ ) para obtener una lengua $L(b)$ (2) ampliar $M$ a un $L(b)$ -estructura $M'$ interpretando la nueva constante como $b$ y (3) sustituir $c_b$ para $y$ en $\varphi(x,y)$ para obtener una nueva fórmula $\varphi(x,c_b)$ que es un $L(b)$ -fórmula sin parámetros.

Algunas personas pueden preferir siempre hacer esto, y definir un parámetro para ser un símbolo constante que se interpreta como un elemento designado en alguna estructura. No importa tanto: estos dos puntos de vista son esencialmente intercambiables, ya que para todo $a\in M$ , $$M\models \varphi(a,b)\iff M'\models \varphi(a,c_b).$$ Me resulta más fácil pensar directamente en los elementos de las estructuras, en lugar de cambiar el lenguaje todo el tiempo.