Una integral definida que contenga ln(x)

Question

Todo el mundo, me encontré con un duro integral definitivo como el siguiente, $$I = \int\limits_1^\infty {\frac{{\ln x}}{{{{\left( {x + a} \right)}^m}{{\left( {x + b} \right)}^{n + 1}}}}} dx,$$ donde $a$ y $b$ son constantes, $m$ y $n$ son enteros no negativos.

Answer 1

Si $~m,n\in\mathbb N,~$ entonces nuestra integral se puede expresar en términos de $~J^{(m-1,~n)}(a,b),~$ donde $J(a,b)=$

$$=\int_1^\infty\frac{\ln x}{(x+a)(x+b)}~dx~=~\int_0^\infty-\int_0^1~=~\frac{\dfrac{\ln^2a-\ln^2b}2+\text{Li}_2\bigg(-\dfrac1a\bigg)-\text{Li}_2\bigg(-\dfrac1b\bigg)}{a-b},$$

véase dilogaritmo $($ o La función de Spence $)$ y polilogaritmo para más detalles.