Valor esperado de una variable transformada

Question

Supongamos que existe una variable aleatoria $Y$ y $X$ tal que:

Para $0 \leq X \leq 3$ , $Y=0.2$ .

Para $X \geq 3$ , $Y = 0.2 + 0.08(X-3)$ .

Si $X$ sigue una distribución exponencial ( $E[X] = \frac{1}{\lambda})$ .

¿Qué es la $E[Y]$ ?

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He intentado resolver este problema calculando $\int^{3}_{0}0.2xdx + \int^{\infty}_3 x[0.02+0.08(\lambda e^{-\lambda x}-3)]dx$ . Pero esto resulta en una respuesta de infinito ( $\int^{\infty}_3 0.02xdx$ ), así que debo estar haciendo algo mal.

Answer 1

Su cálculo no tiene sentido para mí.

Tenga en cuenta que $Y$ es una función de $X$ . Así, se puede escribir $Y=g(X)$ .

¿Puedes encontrar lo que $g$ ¿es?

Ahora $$ E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^\infty g(x)f_X(x)dx $$ donde $f_X(x)$ es la densidad de $X$ .

Answer 2

Usted está tratando de usar $$\mathsf E Y=\mathsf E_X (\mathsf E Y|X)$$ Así que $$\mathsf E Y|X=\begin{cases} 0.2, & 0\le x\le3\\ 0.2+0.08(x-3) & x\ge 3\\ \end{cases}$$ Ahora calcula la expectativa con respecto a $X$ : $$\mathsf EY=\mathsf E_X(\mathsf EY|X)=\int_0^30.2f_X(x)dx+\int_3^{\infty}(0.2+0.08(x-3))f_X(x)dx$$ que además se reduce a $$\mathsf EY=(0.2)F_X(3)+(0.2-0.24)(1-F_X(3))+(0.08)\int_3^{\infty} xf_X(x)dx$$ Dónde $F_X(x)=1-e^{-\lambda x}$ es la cdf exponencial. La simplificación nos lleva a $$\mathsf EY=0.2-(0.24)e^{-3\lambda}+(0.08)\frac{(3\lambda+1)e^{-3\lambda}}{\lambda}$$