¿Cómo puedo representar un número real utilizando sólo 0 y 1? No quiero utilizar ningún símbolo extra como '.' para separar la parte entera y la mantisa.
Respuesta
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Bueno, la función
$$f(x) = \frac{\arctan x + \pi/2}{\pi}$$
es una biyección de $\mathbb{R} \to (0,1)$ . Así que cuando se toma un número $x$ y calcular $f(x)$ se obtiene un número en forma de $0. [\dots]$ ; entonces cualquier número puede ser representado sólo por la mantisa, ya que la parte entera sería $0$ para todos ellos de todos modos, y como $f$ es una biyección, cada mantisa identifica de forma única un número real.
Por lo tanto, puede elegir un $x \in \mathbb{R}$ y encontrar su representación binaria, y luego utilizarla para calcular $f(x)$ también en representación binaria; el resultado será de nuevo un número cuya parte entera es $0$ como antes, pero esta vez la mantisa sólo estará formada por $0$ y $1$ debido a la representación binaria; y por las razones expuestas anteriormente, esta mantisa puede ser la representación de $x$ que necesita para sus fines.
