Propiedad de la integral del producto cuando una función se acerca a 0

Question

Editar Pido disculpas, me interesan más las condiciones que hacen que esta propiedad sea cierta. En respuesta al ejemplo de Gudson, ¿el resultado sería verdadero si la condición que $g(x)$ no puede depender de $c$ ¿se añadió?

Para una integral de valor real donde $\frac{f(xc)}{c}$ y $g(x)$ son continuas en $[a,b]$ para todos $c > 0$ : $$I = \int_{a}^{b} g(x)\cdot \frac{f(xc)}{c} \: \mathrm{d}x$$

Supongamos que $\frac{f(xc)}{c}\rightarrow0$ como $c\rightarrow\infty$ para todos $x \in [a,b]$ . Hace $I\rightarrow0$ como $c\rightarrow \infty$ ?

Estoy tratando de visualizar esto en términos de hacer el gráfico de $g(x)$ en $[a,b]$ cada vez más pequeño y esta propiedad parece ser intuitivamente cierta. ¿Hay alguna forma más convincente de demostrarlo (si es que es cierto)?

Answer 1

Dejemos que $c >0 $ ; dejar que $[a,b] := [2,3]$ ; dejar que $f: x \mapsto \log x :\ [a,b] \to \mathbb{R}$ ; y dejar que $g: x \mapsto c\log (cx) :\ [a,b] \to \mathbb{R}$ . Entonces $f, g$ satisfacer los requisitos, pero para todos $x \in [a,b]$ tenemos $$ g(x)\cdot \frac{f(cx)}{c} = c\log (cx) \cdot \frac{\log (cx)}{c} \to \infty $$ como $c$ crece.