¿Está bien planteada la ecuación parabólica del calor con condiciones de neumann puro?

Question

La ecuación parabólica del calor es una ecuación diferencial parcial dada por $\frac{du}{dt}=\nabla^2u+f$ . Si impongo una condición inicial u(x,0) y unas condiciones de contorno neumann puras y homogéneas que satisfagan las condiciones de compatibilidad con respecto al término fuente f(x), ¿resulta un problema bien planteado? Es decir, ¿existe una solución única?

Sé que si consideramos la ecuación del calor en estado estacionario $-\nabla^2u=f$ Las condiciones neumann puras implican que existe una solución, pero la solución no es única sin imponer restricciones adicionales. Por supuesto, la ecuación del calor en estado estacionario es una pde elíptica, así que no estoy seguro de que se pueda decir lo mismo de la pde de la ecuación del calor parabólica.

Answer 1

Sí, está bien planteado (siempre que $f$ y los datos iniciales son adecuados, al menos). Hay una buena interpretación física de la diferencia entre ambas situaciones.

Bajo una condición Neumann pura con una fuente de tiempo constante, sólo existe un equilibrio si la entrada neta de calor de la fuente es cero. (Más generalmente, dada una condición de Neumann pura no homogénea, la existencia de una distribución de equilibrio depende de que la entrada neta de calor desde la fuente menos la pérdida desde la frontera sea cero). Cuando la entrada de calor de la fuente es cero, el equilibrio que se obtiene depende de la condición inicial. Una de las razones es que el calor total al inicio es el mismo que el calor total al final.

Pero dadas unas condiciones iniciales y una fuente adecuadas, la temperatura seguirá evolucionando, aunque no se equilibre.

Answer 2

Supongo que estás trabajando en un bonito dominio acotado con una frontera suave a trozos. Para el problema elíptico $-\nabla^{2}u = f$ la diferencia de dos soluciones $u_1,u_2$ tendría que ser una constante porque $w = u_1-u_2$ satisfaría $\nabla^{2}w =0$ y $\frac{\partial w}{\partial n}$ , lo que da $$ 0=\int_{\Omega}w\nabla^{2}u dV = \int_{\Omega}\nabla\cdot(w\nabla w)-|\nabla w|^{2}dV =-\int_{\Omega}|\nabla w|^{2}dV. $$

Para el problema parabólico, la diferencia $w$ de dos soluciones satisfaría $$ \frac{d}{dt}\frac{1}{2}\int_{\Omega}w^{2}dV=\int_{\Omega}w\nabla^{2}wdV=-\int_{\Omega}|\nabla w|^{2}dV \le 0 \\ \implies 0\le\int_{\Omega}w^{2}(x,t)dV \le \int_{\Omega}w^{2}(x,0)dV=0. $$ Una diferencia interesante.

El post anterior de Ian trata de la existencia de soluciones.