¿Es cierto que cualquier grupo cociente G/N es abeliano si N contiene el subgrupo conmutador?

Question

¿Es cierto que cualquier grupo cociente G/N es abeliano si N contiene el subgrupo conmutador (incluyendo el caso en que N es el subgrupo conmutador)? Creo que esto es cierto pero quiero confirmarlo.

Answer 1

Sí, $G'=[G,G]$ es el subgrupo normal más pequeño de $G$ tal que $G/N$ es abeliana: $abN=baN$ si $b^{-1}a^{-1}baN=N$ si $[a,b]\in N$ para cualquier $a,b\in G$ .

Answer 2

Sí. Deja que $\varphi: G \to G/N$ sea la proyección. Sea $a', b' \in G/N$ tienen $a' = \varphi(a), b' = \varphi(b)$ . Entonces $$[a',b'] = [\varphi(a),\varphi(b)] = \varphi([a,b]) = e,$$ ya que el conmutador está en el núcleo. Así que el paréntesis de dos elementos cualesquiera en $G/N$ es trivial y $G/N$ es abeliana.