Suma de una serie utilizando el teorema de squeeze

Question

¿Cómo puedo encontrar usando el teorema de Squeeze

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \;,$$

utilizando el hecho de que

$$ \lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1.$$

Muchas gracias por su ayuda,

C.G

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$ porque $\sqrt{n^2+1}\leq\sqrt{n^2+k}$ para $k\geq1$ .

Por otro lado, por un razonamiento similar, utilizando esa $\sqrt{n^2+n}\geq\sqrt{n^2+k}$ para $k\geq1$ : $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$$

así que al final, $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$ y usar eso $$\lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1=\lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$