¿Por qué el laplaciano vectorial implica el doble rizo del campo vectorial?

Question

El laplaciano escalar se define como $\Delta A =\nabla\cdot\nabla A $ . Esto tiene sentido conceptual para mí como la divergencia del gradiente ... pero estoy teniendo problemas para conectar este concepto a un vector Laplaciano porque introduce un doble rizo como $\Delta \mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})$ . Entiendo lo que es el rizo pero no entiendo por qué se introduce en el vector Laplaciano.

Answer 1

La definición del operador laplaciano para un escalar o un vector es casi la misma. Se puede ver observando la identidad vectorial $$\nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-(\nabla\cdot\nabla)A$$ Al introducirlo en su definición, se obtiene todavía $$\Delta A=(\nabla\cdot\nabla)A$$

Answer 2

Se puede demostrar que en coordenadas cartesianas,

el vector El laplaciano de un campo vectorial es un vector con componentes iguales a escalar Laplacianos de las respectivas componentes del campo vectorial.

Por eso también se llamó Laplaciano (pero vectorial).

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_Laplacian