¿Cuántos números de seis cifras (básicamente del 100 000 al 999 999) tienen exactamente dos dígitos iguales y el resto son todos diferentes?
Lo que he intentado: el primer dígito no puede ser un cero, por lo que el número tendría 5 dígitos.
Tengo al menos 2 casos, el dígito repetido está en la primera ranura o en otra
La primera ranura tiene el dígito repetido:
Tengo 9 números para colocar en la primera ranura (una en el otro dígito repetido), y luego tengo 5C1 lugares para poner el segundo número repetido, entonces tengo 9 * 8 * 7 * 6 maneras de colocar los otros números. Así que el primer caso:9 * 5 * 9A4 = 136080
no la primera ranura tiene el dígito repetido:
5C2 lugares para poner los dígitos repetidos(todos menos el primero) y tengo 10 dígitos para usar, entonces tengo dos casos. Puedo tener el número 0(cero) o no(esto causará problemas porque no puedo colocar el número 0 en la primera ranura, así que dividí en dos casos más)
No hay un cero: Fácil, 8A4(8*7*6*5)
Hay un cero: Hmmm, el primer dígito no puede ser un cero, así que me quedan 8(tengo 8 porque no puedo usar el número 0 ni el número repetido) opciones, entonces para los otros 3 lugares quiero tener un cero, de lo contrario solo estaba repitiendo el último caso, quiero 3 números, tener un cero, así que quiero escoger dos números, 7C2(7 posibilidades, porque de 10 usé el 0, el número repetido y el primer número de la ranura), ok tengo 3 números sin orden, así que hago 3! o 3A3 para ordenarlos.
Así que el segundo caso: 5C2 * 10 [8A4 + 8*7C2*3!] = 268800
Así que mis soluciones: 136080 + 268800 = 404880
Sin embargo, hay otra solución que parece correcta pero que da un resultado diferente: 5C2 * 9A4 + 9[5C1*9A4 + 5C2*8*8*7*6] = 408240 Explicando brevemente: 5C2 * 9A4, en este caso, el número repetido es el 0, y no está en la primera ranura.
9*5C1*9A4, este caso ocupa la primera ranura (número repetido), tengo 9 números/posibilidades para la primera ranura y el número repetido, luego quedan 9 números para todos los demás lugares 9A4
9*5C2*8*8*7*6, 9 números para las dos plazas elegidas(no la primera ranura, hay 9 números y no 10, porque ese caso ya está hecho, es el primer caso), luego para la primera ranura no puedo tener el número cero así que 8, luego para las otras 3 ranuras tengo 8*7*6, así que ese es el proceso de pensamiento.....
¿Cuál es la correcta, o ambas son erróneas?
