Si $F$ es una secuencia decreciente cerrada y $F_1$ está acotado entonces
$\cap_{n=1}^{\infty}F_n\not= \emptyset$
Intento de demostración: Supongamos que $\cap_{n=1}^{\infty}F_n= \emptyset$ (para llegar a una contradicción) entonces $\forall \not{\exists}n: x_n\in F_n$
pero $F_{n+1}\subset F_n \subset \dots \subset F_1 $
¿Cómo continuar? ¿debería $F_1$ estar acotado?
Esto es cierto solo si los conjuntos cerrados son compactos. Elija, por ejemplo, los conjuntos $F_n=[n,+\infty)$. Todos son conjuntos cerrados, la secuencia es decreciente, pero $\cap F_n=\emptyset$. Con este contraejemplo, obtenemos que $F_1$ debe ser acotado.
Por el contrario, si $F_1$ está acotado y cerrado, entonces como propiedad de $\mathbb R^n$, $F_1$ es un conjunto compacto, por lo que se sigue que tiene la propiedad de la intersección finita.
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Es posible que te interese la es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_de_intersección_finita. Por cierto, ¿no debería ser la configuración "sea $F_n$ una secuencia decreciente de conjuntos cerrados no vacíos y sea $F_1$ acotado"?
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@b00nheT asumimos que no están vacíos, ya que entonces la prueba ha terminado, ¿verdad?
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Sí, creo que sí.