¿Cómo se puede encontrar la inversa de la función $y=\frac{\sin(x)}{x}$ ? Estos son mis pasos: $y=\frac{\sin(x)}{x}$ , $x=\frac{\sin(y)}{y}$ , $xy=\sin(y)$ , $\arcsin(xy)=y$ , Después de ese paso, no encuentro la manera de aislar $y$ .
Si le preocupa la función inversa, podría utilizar la serie de Taylor habitual de $\sin(x)$ y utilizar la reversión de la serie para obtener $$x=t+\frac{1}{40}t^3+\frac{107 }{67200}t^5+\frac{3197 }{24192000}t^7+\frac{49513 }{3973939200}t^9+O\left(t^{11}\right)$$ donde $t=\sqrt{6(1-y)}$ .
Para ver lo bueno o malo que es, da $x$ un valor del que se obtiene $y$ y volver a calcular $x$ de la expansión. A continuación se dan algunos resultados utilizando la serie truncada anterior $$\left( \begin{array}{ccc} x_{given} & y & x_{calc} \\ 0.0 & 1.00000 & 0.00000 \\ 0.1 & 0.99833 & 0.10000 \\ 0.2 & 0.99335 & 0.20000 \\ 0.3 & 0.98507 & 0.30000 \\ 0.4 & 0.97355 & 0.40000 \\ 0.5 & 0.95885 & 0.50000 \\ 0.6 & 0.94107 & 0.60000 \\ 0.7 & 0.92031 & 0.70000 \\ 0.8 & 0.89670 & 0.80000 \\ 0.9 & 0.87036 & 0.90000 \\ 1.0 & 0.84147 & 1.00000 \\ 1.1 & 0.81019 & 1.09997 \\ 1.2 & 0.77670 & 1.19995 \\ 1.3 & 0.74120 & 1.29989 \\ 1.4 & 0.70389 & 1.39980 \\ 1.5 & 0.66500 & 1.49964 \\ 1.6 & 0.62473 & 1.59937 \\ 1.7 & 0.58333 & 1.69896 \\ 1.8 & 0.54103 & 1.79834 \\ 1.9 & 0.49805 & 1.89741 \\ 2.0 & 0.45465 & 1.99608 \\ 2.1 & 0.41105 & 2.09421 \\ 2.2 & 0.36750 & 2.19165 \\ 2.3 & 0.32422 & 2.28819 \\ 2.4 & 0.28144 & 2.38362 \\ 2.5 & 0.23939 & 2.47768 \\ 2.6 & 0.19827 & 2.57009 \\ 2.7 & 0.15829 & 2.66053 \\ 2.8 & 0.11964 & 2.74866 \\ 2.9 & 0.08250 & 2.83412 \\ 3.0 & 0.04704 & 2.91653 \end{array} \right)$$
Seguro que podemos mejorarlo utilizando más términos.
Otra posibilidad podría ser la tansformación de la serie anterior como aproximante de Padé para obtener $$x=t\,\frac {1-\frac{2927561 }{27485040}t^2+\frac{193184137 }{138524601600}t^4 } {1-\frac{3614687 }{27485040}t^2+\frac{428067253 }{138524601600}t^4 }$$
Qué es la reversión de la serie/cómo se obtuvo esa primera serie de la serie taylor de $sin(x)$ ? ¿No tendría que usar la serie taylor de $\frac{sin(x)}{x}$ ?
Intenté esto para sinc(90/2) y no funcionó -- obtuve 0.9898 para la aproximación de Padé y 3.026 para el método de la serie de Taylor. ¿Por qué no obtuve 45?
@LeviLesches. Trabajamos con radianes, no con grados. Así que $\text{sinc}\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2 \sqrt{2}}{\pi }=0.900316$ . Utilizando la serie de Taylor, obtenemos $0.785398$ utilizando la aproximación de Padé, obtenemos el mismo número y $\frac \pi 4=0.785398$ También.
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Probablemente no es elemental, se puede resolver numéricamente.
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Esta función no es invertible. Tendrá que restringir su enfoque a un determinado conjunto de $x$ para que sea invertible.
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¿Cuáles serían esos valores?
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@ItIsLastThursday Analizando el derivado de $\frac{\sin x}{x}$ es fácil ver que es monótonamente decreciente en un intervalo $[0,a]$ donde $a$ es la solución positiva más pequeña de la ecuación $a = \tan a$ . Este intervalo es uno de los posibles dominios en los que se puede restringir la función para hacerla inyectiva, y por tanto invertible. Pero cualquier conjunto sobre el que la función sea inyectiva sirve.
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¿No se pueden utilizar los primeros términos de la expansión de la serie de Maclaurin y resolver algebraicamente para $x$ ?
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Posible duplicado de math.stackexchange.com/questions/2175174/ ?