Problema con sistema de ecuaciones diferenciales

Question

Dejemos que $$F\in C^1(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$$ $$u'(t)=F(u(t))$$ Dejemos que $w$ y $v$ dos soluciones definidas en (a,b) de la ecuación anterior.

1)Prueba de que, si $dF(x)$ (el diferencial de F en x) satisface $$(dF(x)z,z)_2\leq 0 \qquad \forall x,z\in\mathbb{R}^n$$ entonces $$\phi(t)=||w(t)-v(t)||^2$$ está disminuyendo.

2)Que $s$ una solución definida para $t>0$ . Si $$ (dF(x)z,z)_2\leq -||z||^2 \qquad\forall x,z\in \mathbb{R}^n$$ Prueba de que, si existe $\lambda\in\mathbb{R}^n$ que $$F(\lambda)=0$$ Entonces $$\lim_{t\rightarrow+\infty}s(t)=\lambda$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{split} F(u(t))-F(v(t)) &=\int_0^1\frac{d}{dt}F(su(t)+(1-s)v(t))\,ds\\ &=\int_0^1 dF(su(t)+(1-s)v(t))(u(t)-v(t))\,ds\\ \end{split} $$ y así $$ \phi'(t)=2(F(u(t))-F(v(t)),u(t)-v(t))\le0. $$ En la segunda parte se puede proceder de manera similar empezando por $\phi(t)=\|s(t)-\lambda\|^2$ para lo cual se puede obtener $$ \phi'(t)=2(F(s(t))-\lambda,s(t)-\lambda)\le-\int_0^1\phi(r)\,dr. $$