Explicación de un ejemplo de pegado de estructuras hiperbólicas

Question

Actualmente estoy leyendo el libro Geometría y espectros de las superficies compactas de Riemann por Peter Buser. El autor da un ejemplo de un cilindro hiperbólico para demostrar sus ideas al pegar dos estructuras hiperbólicas.

En primer lugar, el autor construye un cilindro hiperbólico con la siguiente forma ( $\subset \mathbb{H}$ seguro):

basado en la relación de equivalencia $$\sim:\gamma(t)=\gamma'(t)$$ donde $\gamma,\gamma'$ son dos geodésicas.

Entonces el autor escribe que el siguiente cociente es un cilindro $$C=S/\sim$$ donde $S$ es el anillo.

Esta es mi pregunta

El autor menciona entonces que si $m(z)=\frac{b}{a}z$ y $\Gamma=\{m^k|k\in\mathbb{Z}\}$ entonces $\Gamma\backslash \mathbb{H}=C$ . ¿Por qué es esto cierto? ¿Puede alguien "describir" $\Gamma\backslash\mathbb{H}$ ¿para mí?

Podría imaginar que $C=S/\sim$ es un cilindro "retorcido" de una sola capa, pero $\Gamma\backslash \mathbb{H}$ es realmente confuso. Estoy confundido por los elementos en $\Gamma\backslash\mathbb{H}$ . Por ejemplo, $m^2\in\Gamma$ y $$m^2(\mathbb{H})=\frac{b^2}{a^2}\mathbb{H}\in\Gamma\backslash\mathbb{H}$$ ¿No es esto pegar la geodésica que atraviesa $a^2$ a la geodésica que pasa por $b^2$ ?

Sé que hay algo muy equivocado en mi comprensión, así que por favor ayúdeme. Gracias de antemano.

Answer 1

Algo sobre $m$ en la afirmación hecha por el autor parece fuera de lugar. La afirmación correcta debería ser probablemente que si $m = \frac{b}{a}$ (no $z$ ) y $\Gamma = \{m^k \mid k \in \mathbb Z\}$ entonces los espacios cotizados $\Gamma \setminus \mathbb H$ y $S / \sim$ son homeomórficos. Además, la inclusión $S \hookrightarrow \mathbb H$ induce el homeomorfismo.

Permítanme explicar por qué esto es cierto utilizando material básico del espacio del cociente.

Cada elemento de $\Gamma \setminus \mathbb H$ es un coset de la forma $\Gamma z = \{m^k z \mid k \in \mathbb Z\}$ para algunos $z \in \mathbb H$ . Además, la intersección $\Gamma z \cap S$ satisface una de las dos posibilidades: es un punto único, contenido en el interior de $S$ o es un par de puntos, uno de ellos en el semicírculo interior de $S$ con la forma $\gamma(t)$ y la otra en el semicírculo exterior que tiene la forma $\gamma'(t)$ para el mismo valor $t$ y $\gamma'(t) = m \gamma(t)$ .

Por decirlo de otra manera, $\Gamma \setminus \mathbb H$ es un conjunto de clases de equivalencia sobre el conjunto $\mathbb H$ , $S / \sim$ es un conjunto de clases de equivalencia sobre el conjunto $S$ y la intersección con $S$ de cada $\Gamma \setminus \mathbb H$ clase de equivalencia es igual a una $S / \sim$ clase de equivalencia.

A partir de esto, se obtiene inmediatamente una correspondencia uno a uno, es decir, una biyección $$\Gamma \setminus \mathbb H \leftrightarrow S / \sim $$ Hasta aquí todo bien. Puedes ver en esto que la geodésica $\gamma$ se pega a la geodésica $\gamma'$ en ambas descripciones; se podría escribir como $$m(\gamma)=\gamma' $$ Por supuesto, también hay otra geodésica $m^2(\gamma)$ , que se encuentra fuera de $S$ y de hecho hay una secuencia expansiva de geodésicas $m^2(\gamma),m^3(\gamma),m^4(\gamma),\ldots$ cada vez más lejos de la $S$ . También hay una secuencia de geodésicas que se encoge $m^{-1}(\gamma)$ , $m^{-2}(\gamma)$ , $m^{-3}(\gamma)$ que se encuentra cada vez más dentro de $S$ .

Ahora bien, esto es más que una simple biyección, es en realidad un homeomorfismo de topologías cocientes. Así que el resultado es que desde $S / \sim$ es homeomorfo a un anillo abierto (lo que tú llamas un "cilindro retorcido"), se deduce que $\Gamma \setminus \mathbb H$ también es homeomorfo a un anillo. Necesitarás herramientas más avanzadas de topologías cocientes para demostrar esto, y puedes encontrarlas por ejemplo en Munkres "Topología".