Cómo derivar la métrica de una 2-esfera

Question

Tengo una pregunta en la teoría de cuerdas de Polchinski vol I p 167. Se dice

Por ejemplo, $$ds^2= \frac{ 4 r^2 dz d \bar{z} }{(1+ z \bar{z})^2} = \frac{ 4 r^2 du d\bar{u}}{ (1+ z \bar{z})^2} \tag{6.1.3}$$ describe una esfera de radio $r$ y la curvatura $R=2/r^2$ .

Por qué la Ec. (6.1.3) describe una esfera de radio $r$ y la curvatura $R=2/r^2$ ? ¿Cómo se obtiene?

[Traté de usar $z=\sigma_1 + i \sigma_2$ y $\bar{z} = \sigma_1 - i \sigma_2$ coordenadas. Por $dz d\bar{z} = 2 d \sigma_1 d \sigma_2$ Tengo $$ ds^2= \frac{ 8 r^2 d \sigma_1 d \sigma_2 }{ (1+ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} $$

Por lo que he imaginado, no parece una esfera].

Answer 1

Escribir :

$x_1 = \sin \theta \cos \phi$ , $x_2 = \sin \theta \sin \phi$ , $x_3 = \cos \theta $

El radio de la unidad $2$ -La métrica de la esfera es $ds^2=(d\theta^2 + \sin^2 \theta ~d\phi^2)$

Vamos a utilizar la proyección estereográfica: $ \large z = \frac {x_1+ix_2}{1-x_3}$

Esto da : $z = cotg(\theta/2) ~e^{i \phi}$

Así que, $$ dz = \frac{1}{2}(\frac{-1}{\sin^2 (\theta/2)})~e^{i \phi} ~d\theta + i~cotg(\theta/2) ~e^{i \phi}~ d\phi$$

$$ d \bar z = \frac{1}{2}(\frac{-1}{\sin^2 (\theta/2)})~e^{-i \phi} ~d\theta - i~cotg(\theta/2) ~e^{-i \phi}~ d\phi$$

Tenemos :

$$1 + z \bar z = 1 + cotg^2(\theta/2) = \frac{1}{sin^2(\theta/2)}$$

$$dz d \bar z = \frac{1}{4} \frac{1}{sin^4(\theta/2)} ~d\theta^2 + cotg^2(\theta/2)~~d\phi^2$$

Finalmente,

$$\frac{4 ~dz ~d \bar z}{(1 + z \bar z)^2} = d \theta^2 + sin^2\theta ~~d\phi^2$$

A continuación, multiplicamos por $r^2$ para obtener la métrica de una esfera de radio $r$