Un contraejemplo para funciones continuas en espacios métricos

Question

Dar una función $f : X \to Y$ tal que $(X,d)$ y $(Y,p)$ son espacios métricos, y $f$ es una función continua y unívoca y en $Y$ pero $f^{-1}$ no es continúa?

Sé que la compacidad de $X$ debe jugar un papel aquí, porque si $X$ es compacto, entonces no hay tal contraejemplo, por lo que $X$ debe ser no compacto, pero aparte de esto no tengo una dirección para la solución, por favor ayuda.

Answer 1

Si $X:=(\mathbb{R},d)$ donde $d(x,y)=1$ para todos $x,\ y$ y $Y:=(\mathbb{R},|\ |)$ donde $|\ |$ es una métrica canónica, entonces $f=id: X\rightarrow Y$ es continua. Pero $f^{-1}(1/n) = 1/n$ no converge a $0$

Answer 2

Tome la función de identidad de $\mathbb R$ dentro de sí mismo, con la métrica discreta en la lectora y la habitual en la derecha.