¿Mi curva debe ser monótona?

Question

Intento calcular la probabilidad Pr(X>=x) donde X ~ BINOMIAL(N,p1). x se define por N*p2 (p1, p2 son dos proporciones supuestas)

Abajo está mi código R:

prob <- function(N,p1,p2){
    q <- round(N*p2)
    return(pbinom(q,N,p1,lower.tail = FALSE))
}

Ejecute la función para N=50:300 donde p1=0,375, p2=0,25, y grafique la probabilidad calculada frente al tamaño de la muestra. ¿Alguien tiene una idea de por qué mi curva no es monótona? Por ejemplo, N=51 tiene una probabilidad de 0,975; N=52 tiene una probabilidad de 0,959.

Answer 1

Si ambos N y x están cambiando, no hay razón para que la probabilidad de cola asociada $P(X\ge x)$ debe ser monótona. Es fácil ver que la probabilidad de la cola aumenta con N para fijo x y disminuye con x para fijo N . No se puede garantizar esta monotonicidad si ambos N y x pueden cambiar, incluso si ambos aumentan.

Como ilustración divertida de esto, ejecute su código con p1 = p2 = 0.5 . Observarás ondas en la probabilidad de la cola:

N= 1  q= 0  prob= 0.5 
N= 2  q= 1  prob= 0.25 
N= 3  q= 2  prob= 0.125 
N= 4  q= 2  prob= 0.3125 
N= 5  q= 2  prob= 0.5 
N= 6  q= 3  prob= 0.34375 
N= 7  q= 4  prob= 0.2265625 
N= 8  q= 4  prob= 0.3632813 
N= 9  q= 4  prob= 0.5 
N= 10  q= 5  prob= 0.3769531 
N= 11  q= 6  prob= 0.2744141 
N= 12  q= 6  prob= 0.387207 
N= 13  q= 6  prob= 0.5 
N= 14  q= 7  prob= 0.3952637 
N= 15  q= 8  prob= 0.3036194 
N= 16  q= 8  prob= 0.4018097 
N= 17  q= 8  prob= 0.5 
N= 18  q= 9  prob= 0.4072647 
N= 19  q= 10  prob= 0.3238029 
N= 20  q= 10  prob= 0.4119015 

Observe que cuando q se mantiene constante, la probabilidad de cola aumenta con N . Pero cuando ambos N y q se incrementa en uno, la probabilidad de cola no puede aumentar . Esto es necesariamente cierto, porque para observar al menos q+1 éxitos en N+1 lanzamientos debe ser el caso que vio al menos q éxitos en la primera N lanzamientos.