Serie infinita $\sum_{k=1}^\infty \frac{k\sin(kx)}{k^2+a^2}$

Question

¿Cómo puedo evaluar la serie infinita $$\sum_{k=1}^\infty \frac{k\sin(kx)}{k^2+a^2}$$ utilizando el teorema del residuo?

Mi enfoque fue utilizar la función $$f(z)=\frac{z\sin(zx)}{z^2+a^2}\frac{\pi}{\tan(\pi z)}$$ integrado sobre un círculo centrado en el origen, pero seguía dando una respuesta errónea.

Answer 1

Creo que es más eficiente explotar la serie de Fourier de $e^{-ax}$ en $(0,2\pi)$ .
Tenemos $$ \int_{0}^{2\pi}e^{-ax}\sin(k x)\,dx = \frac{k}{k^2+a^2}(1-e^{-2a\pi})$$ $$ \int_{0}^{2\pi}e^{-ax}\cos(k x)\,dx = \frac{a}{k^2+a^2}(1-e^{-2a\pi})$$ por lo que $$ \sum_{k\geq 1}\frac{k\sin(kx)}{k^2+a^2}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{e^{-ax}-e^{-2a\pi+ax}}{1-e^{-2a\pi}}=\frac{\pi \sinh(\pi a-ax)}{2\sinh(\pi a)}. $$