Limitaciones de la $p$ y $\rho$ de la métrica cosmológica y $T_{; \nu}^{\mu \nu} = 0$

Question

Me dan la métrica cosmológica

$$ds^2 = -dt^2 + a(t)^2dx^2 +a(t)^2dy^2 + a(t)^2dz^2$$

y el fluido perfecto con el tensor tensión-energía

$$T^{\alpha \beta}=\left(\begin{array}{cccc}{\rho} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {a^{-2} p} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {a^{-2} p} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {a^{-2} p}\end{array}\right)$$

Quiero examinar $T_{; \nu}^{\mu \nu} = 0$ para determinar las condiciones impuestas a $p$ y $\rho$ .

Mi proceso de pensamiento es el siguiente: evaluar los componentes temporales y espaciales por separado. También he calculado los símbolos de Christoffel no evanescentes a partir de la métrica dada: $\Gamma_{x x}^{t}=a(t) \dot{a}(t)$ , $\Gamma_{y y}^{t}=a(t) \dot{a}(t)$ , $\Gamma_{z z}^{t}=a(t) \dot{a}(t)$ , $\Gamma_{t x}^{x}=\dot{a}(t)/a(t)$ , $\Gamma_{t y}^{y}=\dot{a}(t)/a(t)$ , $\Gamma_{t z}^{z}=\dot{a}(t)/a(t)$ . Sé que esto también está relacionado con las ecuaciones de Friedmann.

No estoy seguro de cómo calcular $T_{; \nu}^{\mu \nu} = 0$ y luego encontrar las restricciones en $p$ y $\rho$ . Gracias.

Answer 1

Ver este enlace para ver una lista de cómo calcular tensores de varios tipos. El que te interesa es el siguiente: $$ T^{ab}_{\ \ \ \ \ ;c} = \partial_{c} T^{ab} + \Gamma^{a}_{\ cd} T^{db} + \Gamma^{b}_{\ cd} T^{a d} $$

Usted está contrayendo sus índices en el sentido de que $$ T^{\mu\nu}_{\ \ \ \ \ ;\nu} = \partial_{\nu} T^{\mu\nu} + \Gamma^{\mu}_{\ \nu d} T^{d\nu} + \Gamma^{\nu}_{\ \nu d} T^{\mu d} $$

Ahora sólo tienes que introducir en él tus expresiones para $T^{\mu\nu}$ también para $\Gamma^{a}_{\ bc}$ .

EDIT: Probablemente sea útil señalar que su $T^{\mu\nu}$ es diagonal. Esto simplificará considerablemente la expresión anterior.