Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita con dimensión $n$ . Llamemos a cualquier $n-1$ subespacio dimensional a (hiper) avión . Entonces, se necesita $n-1$ vectores independientes para definir un plano en $V$ . Supongamos ahora que dotamos al espacio de la estructura de un producto interior. Entonces el mismo plano está definido sólo por un único vector, ya que un vector y su espacio perpendicular son suma directa que equivale al espacio $V$ . ¿Cómo es esto, que dar al espacio una estructura disminuye el número de grados de libertad que se tiene al definir dicho plano? (La elección de un plano fue, por supuesto, arbitraria)
Respuesta
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Tomasz Tarka
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El teorema de Rouge-Capelli relaciona el número de ecuaciones lineales homogéneas de un sistema con la dimensión de su espacio de soluciones. Es decir, si $W$ es el subespacio de $V$ , $\dim V = n$ y $\dim W = r$ entonces $W$ puede ser descrito por $n-r$ ecuaciones homogéneas, por lo que $n-1$ plano dimensional en $n$ espacio dimensional puede ser descrito por una ecuación lineal.
Dejemos que $V=F^n$ , donde $F$ es un campo y $\langle\cdot,\cdot\rangle$ sea el producto escalar estándar. Entonces, si se elige un vector $\alpha=(a_1,..,a_n)$ perpendicular a un plano, digamos $\Pi$ entonces $\Pi=\left\{(x_1,...,x_n)\in F^n|a_1x_1+...+a_nx_n=0\right\}$ Es decir, $\Pi$ se describe mediante una única ecuación lineal. La introducción de la estructura del producto escalar no cambia los grados de libertad en la definición de los subespacios, sólo ofrece una forma elegante de encontrar el sistema de ecuaciones que describe un espacio determinado.
