Una clase de cohomología frustrante en los módulos de las superficies abelianas

Question

He aquí una pregunta muy frustrante en la que estoy atascado desde hace tiempo. Creo que mi pregunta podría encajar en un marco general de lo que sucede cuando se restringe $L^2$ -de clases de cohomología en una variedad Shimura a una variedad sub-Shimura. Sin embargo, formulo la pregunta para el caso especial que me interesa.

Dejemos que $A_2$ sea la pila de módulos de las superficies abelianas principalmente polarizadas. A la representación irreducible de dimensión finita de $\mathrm{Sp}(4)$ de mayor peso $a \geq b \geq 0$ adjuntamos un sistema local $V_{a,b}$ en $A_2$ .

Supongamos que $(a,b) \neq (0,0)$ . Se puede demostrar que $H^4_c(A_2,V_{a,b})$ se desvanece a menos que $a=b$ es par, en cuyo caso $H^4_c(A_2,V_{2k,2k})$ es puro de tipo Tate y de la misma dimensión que el espacio de formas de cúspide de peso $4k+4$ para $\mathrm{SL}(2,\mathbf Z)$ . El mapa $H^4_c \to H^4_{(2)}$ a la $L^2$ -La cohomología es un isomorfismo. En términos de representaciones automórficas, estas clases de cohomología pueden describirse como sigue: para cualquier forma de cúspide de nivel 1 $\pi$ en $\mathrm{GL}(2,\mathbf A)$ de peso $4k+4$ consideramos el único cociente irreducible de $$ \mathrm{Ind}_{P(\mathbf A)}^{\mathrm{GSp}(4,\mathbf A)} \left( \vert \cdot \vert^{1/2} \pi \otimes \vert \cdot \vert^{-1/2} \right)$$ donde $P$ denota el subgrupo parabólico de Siegel (cuyo factor de Levi es $\mathrm{GL}(2) \times \mathrm{GL}(1)$ ); se trata de una representación automórfica discreta para $\mathrm{GSp}(4)$ que aporta una clase de tipo Tate al $L^2$ -cohomología en grados $2$ y $4$ .

Hay un mapa $\mathrm{Sym}^2(A_1) \hookrightarrow A_2$ dado al llevar un par de curvas elípticas a su producto. También podemos restringir $V_{a,b}$ a $\mathrm{Sym}^2(A_1)$ . Al determinar la fórmula de ramificación para $\mathrm{SL}(2)^2 \rtimes S_2 \subset \mathrm{Sp}(4)$ encontramos que el sistema local trivial ocurre como un sumando en la restricción de $V_{a,b}$ a $\mathrm{Sym}^2(A_1)$ si y sólo si $a=b$ es par, en cuyo caso aparece con multiplicidad $1$ . Así que $H^4_c(\mathrm{Sym}^2(A_1),V_{2k,2k})$ también es puro de tipo Tate pero $1$ -dimensional. De nuevo podríamos pensar en $L^2$ -cohomología y no haría ninguna diferencia.

PREGUNTA PRINCIPAL: ¿Es el mapa de restricciones $H^4_c(A_2,V_{2k,2k}) \to H^4_c(\mathrm{Sym}^2(A_1),V_{2k,2k})$ no es cero para $k \geq 2$ ?

Cualquier idea o indicación se agradecería. Soy muy ignorante sobre representaciones automórficas, variedades de Shimura, etc. y espero ingenuamente que exista algún método general para responder a preguntas de este tipo.

Esta pregunta surgió del documento http://arxiv.org/abs/1210.5761 . Una respuesta positiva implicaría que toda la cohomología par de $\mathcal{\overline{M}}_{2,n}$ es tautológico para $n < 20$ y que la conjetura de Gorenstein falla en $\mathcal{\overline{M}}_{2,20}$ .

Answer 1

La respuesta a la pregunta principal anterior es efectivamente positiva: el mapa de restricción es distinto de cero para todo $k \geq 2$ . Esto se demostró en la sección 5 de mi documento Anillos tautológicos de espacios de curvas puntuales de género dos de tipo compacto. Compuesto. Math. 152 (2016), no. 7, 1398-1420.

La idea del cálculo es que se trata de clases de cohomología de Eisenstein para el subgrupo parabólico de Siegel, que corresponde a los estratos de la frontera de 0 dimensiones en la compactificación de Baily-Borel. Por lo tanto, se puede reducir a un cálculo en una vecindad borrada de la parte 0-dimensional de la frontera. Tal vecindad borrada puede describirse como un haz de fibras sobre un espacio localmente simétrico más pequeño. Al final uno acaba cambiando el problema de considerar el submanifold $A_1 \times A_1 \subset A_2$ para considerar el submanifold dentro de $A_1$ dada por la imagen del eje imaginario. Esto equivale a reformular el problema como una afirmación sobre los símbolos modulares clásicos.