Demostrar que todo entero positivo que tenga $3^m$ dígitos iguales es divisible por $3^m$

Question

Demostrar que todo entero positivo que tenga $3^m$ dígitos iguales es divisible por $3^m$

Realmente no he hecho nada sustancial para resolver esto pero esto es lo que tengo:

Sea el número entero positivo $aaa....aaa$ o simplemente $A$ .

$A=a\cdot10^{3^m}+a\cdot10^{3^m-1}+a\cdot10^{3^m-2}+....+a$
Esto forma un GP, por lo tanto, $A=x\frac{10^{3^m+1}-1}{10-1}=\frac{x}{9}\ [10^{3^m+1}-1]$

Ahora la pregunta quiere que probemos
$3^m|A$
$3^m|\frac{x}{9}\ [10^{3^m+1}-1]$
$3^{m+2}|\ x (10^{3^m+1}-1)$
Pero x puede ser cualquier dígito así que,
$3^{m+2}|\ 10^{3^m+1}-1$

No encuentro la manera de seguir resolviendo. ¿Puedo obtener una pista de cómo puedo proceder con esta pregunta

Yo también he probado la inducción, pero no he llegado a la conclusión:

Sea P(n)
$10^{3^n+1}-1=3^{n+2}a$

P(1):
$10^{3+1}-1$
$=10^4-1$
$=10,000-1$
$=9999$ que es divisible por $3^3=27$

Que p(m) sea verdadera,
$10^{3^m+1}-1=3^{m+2}b$

Para probar: P(m+1) también es cierto
$10^{3^{m+1}+1}-1$
$=10^{3*3^m+1}-1$
$=10^{2*3^m}\cdot10^{3^m+1}-1$
$=10^{2*3^m}(3^{m+2}b+1)-1$

No soy capaz de ir más allá...

Answer 1

Procederemos por inducción sobre $m$ a partir de $m=0$ . Dejemos que $d$ sea cualquier dígito del 1 al 9. Tenemos que demostrar esta afirmación para todos los $m\ge0$ : $$S(m): 3^m\mid\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^m}$$ Claramente $S(0)$ es cierto: $$3^0\mid d\to1\mid d$$ Supongamos ahora que $S(n)$ para algunos $n$ es cierto. $$3^n\mid\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^n}$$ La concatenación de tres copias de $\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^n}$ puede representarse como un producto: $$\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^{n+1}}=\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^n}×(10^{2\cdot3^n}+10^{3^n}+1)$$ El término $\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^n}$ es divisible por $3^n$ , mientras que $(10^{2\cdot3^n}+10^{3^n}+1)$ es divisible por 3: $$\begin{align} 10^{2\cdot3^n}+10^{3^n}+1&\equiv 1^{2\cdot3^n}+1^{3^n}+1\bmod3\\ &\equiv1+1+1\bmod3\\ &\equiv0\bmod3 \end{align}$$ Uniendo estos términos, vemos que $$(3×3^n)\mid\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^{n+1}}$$ $$3^{n+1}\mid\underbrace{ddd\dots ddd}_{3^{n+1}}$$ pero esta es precisamente la afirmación $S(n+1)$ . Por lo tanto, si $S(n)$ es verdadero, entonces $S(n+1)$ es cierto. Ya que $S(0)$ es verdadera, por inducción $S(m)$ es cierto para todos los $m\ge0$ .

Answer 2

Tu idea de una prueba inductiva puede funcionar de la siguiente manera:

$\begin{eqnarray} 3^m\mid 11\cdots 11 = (10^{\large 3^{\Large m}}\!\!-1)/9\iff&\! 10^{\large 3^{\Large m}} =&\ 1 + 3^{\large m+2} k,\,\ \ \ {\rm i.e.}\ \ P(m)\\ \Rightarrow\ & 10^{\large 3^{\Large m+1}}\!\! =& (1 + 3^{\large m+2} k)^{\large 3}\\ &\qquad\ =&\ 1+ 3^{\large m+3}\, k', \ \ {\rm i.e.}\ \ P(m\!+\!1) \end{eqnarray}$

Nota: $\ $ Este es un caso especial de LTE = Lifting The Exponent Lemma