Campo liso global no completo.

Question

Necesito ver si la afirmación es verdadera o falsa:

Si $M$ es un colector liso y $p\in M \Rightarrow M-\{p\}$ admite un campo liso global no completo.

Answer 1

Esto es cierto. Primero hay que tener en cuenta que esto es cierto cuando $M=B(0,r)$ es una bola abierta en $\Bbb R^n$ y $p=0$ . Por ejemplo, consideremos el campo vectorial radial unitario en $M-p$ definido por $$X(a)=\frac{-a}{\Vert a\Vert}.$$ Este campo vectorial no está completo, porque las trayectorias alcanzarán $0$ en un tiempo finito.

Ahora para el caso general tome un gráfico $\phi:(B(0,r),0)\longrightarrow (U,p)$ alrededor de $p$ . Puede encontrar una función suave $\psi :M\to \Bbb R$ que es igual a 1 cerca de $p$ y que es cero fuera de $V:=M-\phi(\bar{B}(0,r/2))$ . Si $Y$ es el pushforward de $X$ por $\phi$ que se define en $U-p$ entonces la extensión de $\psi\cdot Y$ a $M-p$ define un campo vectorial suave en $M-p$ que todavía está incompleta porque las trayectorias cerca de $p$ alcanzará $p$ en un tiempo finito.