Número de soluciones para 2 ecuaciones con 4 variables

Question

Dado que $a, b, c, d$ son enteros positivos,
Cuál es el número de soluciones para las 2 ecuaciones dadas,

$\mathbf{ad - bc > 0}$
$\mathbf{a + d = n }$
donde, $n$ es un número entero positivo dado.

Answer 1

Dejemos que $\tau(n)$ denotan el número de divisores positivos de $n$ o, lo que es lo mismo, el número de formas de escribir $n=bc$ con $b,c>0$ . Dejemos que $T(x) = \sum_{n=1}^{x-1} \tau(n)$ . Entonces el número de soluciones es exactamente $\sum_{a=1}^{n-1} T\big(a(n-a)\big)$ : debemos tener $a$ entre $1$ y $n-1$ inclusive, que fija el valor de $d$ entonces debemos tener $bc$ igual a algún número $n$ menos de $ad=a(n-a)$ y $T(a(n-a)$ cuenta exactamente de cuántas maneras puede ocurrir esto.

No hay una fórmula especialmente agradable para $T(x)$ . Se sabe que $T(x) \sim x\log x$ cuando $x$ es grande, de lo que se puede deducir que el número de soluciones a su problema es $\sim \frac16 n^3\log n$ cuando $n$ en grande.