Dejemos que ${\cal F}$ sea un presheaf en un esquema $X$ que asocia cada grupo abeliano ${\cal F}(U) \in {\mathrm{Ab}}$ por cada uno abierto $U \hookrightarrow X$ . Entonces siempre podemos asociar su gajo asociado ${\cal F}^{\mathrm{a}}$ .
Me pregunto si esto se generaliza a los complejos de grupos abelianos. Es decir, supongamos que tenemos un functor
\begin{equation*} {\cal F}^{\bullet} \colon U \mapsto {\cal F}^{\bullet}(U) \in D({\mathrm{Ab}}), \end{equation*} donde $D({\mathrm{Ab}})$ representa la categoría (derivada) de complejos de grupos abelianos. (No estoy seguro de si la categoría derivada de complejos de grupos abelianos puede existir o no). Supongamos además que el functor anterior ${\cal F}^{\bullet}$ satisface la funtorialidad. Es decir, existe un único morfismo de restricción $r_{UV} \colon {\cal F}^{\bullet}(V) \to {\cal F}^{\bullet}(U)$ siempre que una inmersión abierta $U \subset V$ existe tal que $r_{UW} = r_{UV} \circ r_{VW}$ se mantiene.
Por último, denotamos por $D(X)$ la categoría derivada de las láminas de grupos abelianos en $X$ .
Q. ¿Es posible asociar el elemento único ${{\cal F}^{\bullet}}^{\mathrm{a}} \in D(X)$ ?
Esta pregunta surgió cuando supe que el complejo motivacional ${\Bbb Z}(r)_X \in D(X)$ es la que asocia el complejo superior de Chow de Bloch ${\cal Z}^r(U,\bullet) \in D({\mathrm{Ab}})$ por cada uno abierto $U \hookrightarrow X$ . A grandes rasgos, mi pregunta es la generalización ingenua de la sheafificación de un único presheaf a la de un presheaf que asocia complejos de grupos abelianos para cada abierto $U$ .
