series recursivas en un espacio métrico

Question

Supongamos que se tiene una serie en un espacio metricial, definida recursivamente con $x_{n+1} = f(x_n)$ . Digamos también que se le da el conocimiento de que esta serie converge.

¿Es posible entonces que f no sea continua?

(La razón por la que pregunto es que he leído dos pruebas diferentes del teorema del punto fijo de Banach. En una prueba utilizó que como la contracción f es continua y sabe que la serie converge, obtiene $a=lim_{n\to \infty} x_{n+1}= lim_{n\to \infty}f(x_n) \text{---continuity-->} = f( lim_{n\to\infty}x_n) = f(a)$ .

Pero en la otra prueba, sólo dice que como sabe que la serie converge, sólo dice que debemos tener $a=f(a)$ .)

Así que esto me hace preguntarme, si nos dan información que $x(n+1)= f(x_n)$ converge, sin saber necesariamente que f es continua, ¿hay entonces ejemplos de funciones en las que f no sea continua y esto funcione, o podemos deducir de esto que $f$ debe ¿es continua? Y todavía tienes ese $f(a)=a$ ?

Answer 1

Dejemos que $X = [0,1]$ y

$$f(x) = \begin{cases} 1 &, x = 0\\ \frac{x}{2} &, x \neq 0. \end{cases}$$

Por cada $x_0 \in X$ la secuencia definida por la recursión converge (a $0$ ), pero $f$ no es continua y no tiene punto fijo.

La variante

$$g(x) = \begin{cases} 1 &, x \in X\setminus \mathbb{Q}\\ \frac{x}{2} & x \in X\cap\mathbb{Q} \end{cases}$$

da un ejemplo de una función que tiene un punto fijo único, tal que la secuencia obtenida aplicando iterativamente $g$ converge al punto fijo para todos los puntos de partida, pero la función no es continua en el punto fijo (ni en ningún otro punto, aquí). La continuidad de la función no puede deducirse del resultado de que toda sucesión iterada converge al único punto fijo, sino que debe ser -de una forma u otra- parte de las premisas.

En el teorema del punto fijo de Banach, una de las premisas es la existencia de un $q < 1$ tal que para todo $x,y$ tenemos $d(f(x),f(y)) \leqslant q\cdot d(x,y)$ . Esta premisa implica la continuidad de $f$ y aparentemente fue implícitamente utilizado en la segunda prueba.