Supongamos que tengo dos cilindros: uno ligero y otro pesado. Ahora, dejo que los cilindros rueden por una rampa sin resbalar. Mi pregunta es, ¿cuál llegará primero al fondo de la rampa y por qué?
Respuestas
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Veamos la fuerza neta para un cilindro en un plano inclinado:
$$ \Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$$ donde $f$ es la fuerza de fricción.
Ahora el par alrededor del COM (que es el punto alrededor del cual hay rotación) es: $$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$$
donde $R$ es el radio del cilindro. Por la segunda ley de Newton, las ecuaciones (1) y (2) se convierten en:
$$ ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$$ $$I\alpha = Rf \tag{4}$$
Como no hay deslizamiento $a = R \alpha$ . Lo conseguimos, $$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$$
Ahora viene la parte importante. Supongamos que la DENSIDAD es UNIFORME en ambos cilindros. Eso hace no implica la misma masa, sino que $\rho$ es la misma en todos los puntos del cilindro. En ese caso, la inercia (sobre el eje que pasa por la COM y cada cara del cilindro) es $$I=\dfrac{1}{2}mR^2$$ donde $R$ es el radio y $m$ es la masa.
Sustituyamos esto en (5) y obtengamos, $$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$$
Ahora combinemos (6) y (3) para obtener
$$ ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$$
Obsérvese que las masas se cancelan todas, y nos queda $$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$$
Obsérvese que (8) no depende ni de la masa ni del radio. Por tanto, ambos cilindros experimentarán la mismo aceleración. Como la aceleración de cada cilindro es la misma (y ambos parten del mismo punto desde el reposo), ambos llegarán al mismo tiempo, independientemente de la masa o el radio (de nuevo, suponiendo una densidad uniforme).
alex9183
Puntos
75
Hay una prueba intuitiva de que dos cilindros que sólo difieren en su densidad rodarán con la misma velocidad: basta con superponer dos cilindros con la misma masa. Los cilindros rodarán a la misma velocidad. Pero juntos forman un cilindro con el doble de masa, que también rueda con la misma velocidad. En la práctica, dar un significado a "superponer" puede ser un poco complicado, pero eso no afecta a la prueba desde un punto de vista intuitivo.
Jason Ballinger
Puntos
16
Suponiendo que los cilindros sean idénticos en apariencia y sólo estén hechos de material de diferente densidad. Entonces el par de torsión sobre el COM será desigual, pero la aceleración será igual. En lugar de la ecuación, sólo hay que percibirla como $$\tau(torque) \propto Mass$$ ya que el par gravitacional y otros parámetros son iguales
$$ \tau(torque)=I\alpha$$ $$I \propto Mass$$ Por lo que se obtiene $\alpha$ independientemente de la masa. Ahora bien, como éstas son iguales para ambos cilindros. Así que cualquier cálculo cinemático o rotacional que se haga debe ser igual para ambos.
Si los cilindros no son idénticos, por favor, elabore su pregunta.
